【2024中考数学一轮复习】20阅读理解与新定义问题

规定 ， 求：

某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a^m=b ，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a^m=b，那么T(a，b)=m．例如3⁴=81，那么T(3，81)=4．

阅读材料：

我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果 ， 那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.

例如： ， ， ，

则称数对 ， ， 是“和积等数对”.

根据上述材料，解决下列问题：

“*”是规定的一种运算法则，如下：a*b＝a²﹣b+1．

用“”定义一种新运算：对于任意有理数和 ， 规定 ．

已知 ， 均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：

＊= ，

例如：1＊2=1²+2×1×24=1.求：

定义一种新运算“”： ， 比如： ．

对于平面内的一个四边形，若存在点О，使得该四边形的一条对角线绕点О旋转一定角度后能与另-条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点О是该四边形的一个“旋点”例如，在矩形MNPQ中，对角线MP，NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”.

阅读下列材料：

一般地，n个相同的因数a相乘记为aⁿ ． 如2×2×2=2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．

教科书中这样写道：“形如 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．

例如：分解因式： ．

解：原式 

再如：求代数式 的最小值．

解： ，可知当 时，有最小值，最小值是－8．

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

阅读下列素材：

如何设计“非对称加密算法”
素材1	“非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材2	3×1001=3003；13×1001=13013；213×1001=213213；……
素材3	项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记(公钥，私钥)为(a，b)(其中a，b均为两位正整数)，则 例，当明文为123，(a，b)取(13，77)时，加密解密过程如下：

结合上述素材，完成以下问题：

【模型理解】

先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂），其两点间距离公式为：p₁p₂＝ ， 例如：点（3，2）和（4，0）的距离为 ． 同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：p₁p₂＝|x₁-x₂|或p₁p₂＝|y₁-y₂|．

综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中， ， D为上一点， ， 动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为 ， 正方形的面积为S ， 探究S与t的关系.

已知x ， y为有理数，如果规定一种运算“*”，即x*y＝xy+1，试根据这种运算完成下列各题．

定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题.

1▽3=1×3+3=6， 3▽1=3×1+1=4， 5▽4=5×4+4=24，请你想一想：

阅读下列一段文字，回答问题．

[材料阅读]平面内两点M(x₁ ， y₁)，N(x₂ ， y₂)，则由勾股定理可得，这两点间的距离MN= ．

例如，如图1，M(3，1)，N(，-2)，则MN= ．

[直接应用]

阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于-1，记为=-1，这个数i叫做虚数单位。那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。

例如计算：.

阅读理解：

符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为例如×4-2×5=2.

请根据以上材料，化简下面的二阶行列式：

 【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．

例如： ， 类似地，我们把看成一个整体，则 ．

【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题：

[阅读理解]若x满足（32-x）（x-12） = 100，求（32-x）²+ （x-12）²的值。

解；设32-x=a．x-12= b，则（32-x）（x-12）= ab= 100，a+b= （32-x） +（x-12） = 20，（32-x）²+（x-12）²=a²+b²= （a+b）²- 2ab = 20²-2×100=200．

我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．

[解决问题]

 【数学阅读】规定：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．

如 ， 等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”；记作，读作“-3的圈4次方”．对于a^ⓝ（a≠0），读作“a的圈 n次方”．

【问题情境】数学活动课上，老师让同学们探究“有理数的加减法问题”.

我们规定一种新的运算法则： ， ， 其中每个运算法则的右边都是我们学过的有理数的加减法.

阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿尔·花拉子米(约780~约850)，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是 ，即 ， 而由原方程变形得 ， 即边长为x+1的正方形面积为36．所以 ， 则x=5．

任务：

阅读材料，回答下列问题：

阿尔·花拉子米（约780 约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程 的一个解．

将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x， 宽为1，拼合在一起面积就是 ，即 ，而由原方程 变形得 ，即边长为 的正方形面积为36．所以 ，则 ．

已知：有理数阅读材料：“如果代数式 的值为 ，那么代数式 的值是多少？”我们可以这样来解：原式 .把式子 两边同乘以2，得 .仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

观察下列等式： ， ， ，

将以上三个等式两边分别相加得：

．

   

[推理能力、运算能力]在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．

[提出问题]三个有理数满足 ， 求的值．

[解决问题]由题意可知三个有理数都为正数或其中一个为正数，另外两个为负数．

①当都为正数，即时，；

②当中有一个为正数，另外两个为负数时，不妨设 ， 则 ．

综上所述，的值为3或 ．

[探究拓展]请根据上面的解题思路解答下面的问题：

[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D

证明如下：过E点作EF∥AB．

  ∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．）

又 AB∥CD(已知）

  CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 

  ∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）

  ∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）

 即：∠E=∠B+∠D

教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．

配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．

例如：分解因式：

解：原式

再如：求代数式的最小值．

解：原式

又是一个非负数，

．

．

可知当时，有最小值，最小值是 ．

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：