2017年高考真题分类汇编（理数）：专题3 三角与向量-组卷题库站

单选题

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）

A、 a=2b

B、 b=2a

C、 A=2B

D、 B=2A

设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ $\text{[math]}$ ）=2，f（ $\text{[math]}$ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A、 ω= $\text{[math]}$ ，φ= $\text{[math]}$

B、 ω= $\text{[math]}$ ，φ=﹣ $\text{[math]}$

C、 ω= $\text{[math]}$ ，φ=﹣ $\text{[math]}$

D、 ω= $\text{[math]}$ ，φ= $\text{[math]}$

设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，则“存在负数λ，使得 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ”是 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜0”的（　　）

A、充分而不必要条件

B、必要而不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件

已知曲线C₁：y=cosx，C₂：y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），则下面结论正确的是（　　）

A、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到曲线C₂

B、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到曲线C₂

C、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到曲线C₂

D、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到曲线C₂

在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，则λ+μ的最大值为（）

A、 3

B、 2 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 2

设函数f（x）=cos（x+ $\text{[math]}$ ），则下列结论错误的是（）

A、 f（x）的一个周期为﹣2π

B、 y=f（x）的图象关于直线x= $\text{[math]}$ 对称

C、 f（x+π）的一个零点为x= $\text{[math]}$

D、 f（x）在（ $\text{[math]}$ ，π）单调递减

如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I₁= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，I₂= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，I₃= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，则（）

A、 I₁＜I₂＜I₃

B、 I₁＜I₃＜I₂

C、 I₃＜I₁＜I₂

D、 I₂＜I₁＜I₃

已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的最小值是（）

A、 ﹣2

B、 ﹣ $\text{[math]}$

C、 ﹣ $\text{[math]}$

D、 ﹣1

填空题

我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S₆ ， S₆=．

若tan（α﹣ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．则tanα=．

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 的夹角为60°，则实数λ的值是．

在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ （λ∈R），且 $\text{[math]}$ =﹣4，则λ的值为．

已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=．

在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= $\text{[math]}$ ，则cos（α﹣β）=．

如图，在同一个平面内，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的模分别为1，1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为α，且tanα=7， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为45°．若 $\text{[math]}$ =m $\text{[math]}$ +n $\text{[math]}$ （m，n∈R），则m+n=．

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为60°，| $\text{[math]}$ |=2，| $\text{[math]}$ |=1，则| $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ |=．

函数f（x）=sin²x+ $\text{[math]}$ cosx﹣ $\text{[math]}$ （x∈[0， $\text{[math]}$ ]）的最大值是．

解答题

设函数f（x）=sin（ωx﹣ $\text{[math]}$ ）+sin（ωx﹣ $\text{[math]}$ ），其中0＜ω＜3，已知f（ $\text{[math]}$ ）=0．

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最小值．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+ $\text{[math]}$ ）的值．

已知函数f（x）=sin²x﹣cos²x﹣2 $\text{[math]}$ sinx cosx（x∈R）．

（Ⅰ）求f（ $\text{[math]}$ ）的值．

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

已知向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足| $\text{[math]}$ |=1，| $\text{[math]}$ |=2，则| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ |的最小值是，最大值是．

在△ABC中，∠A=60°，c= $\text{[math]}$ a．（13分）

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 $\text{[math]}$ cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E₁G₁的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）