人教新课标A版必修一 3.2.1几类不同增长的函数模型

作者UID:10055898

日期: 2024-10-05

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单选题

给出三种函数模型：f（x）=xⁿ（n＞0），g（x）=a^x（a＞1）和h（x）=log_ax（a＞1）．根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x₀ ，当x＞x₀时，就有（）

A、 f（x）＞g（x）＞h（x）

B、 h（x）＞g（x）＞f（x）

C、 f（x）＞h（x）＞g（x）

D、 g（x）＞f（x）＞h（x）

已知a＞0且a≠1，f（x）=x²﹣a^x ，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜

，则实数a的取值范围是（）

A、 $\text{[math]}$ ∪[2，+∞）

B、 $\text{[math]}$ ∪（1，4]

C、 $\text{[math]}$ ∪（1，2]

D、 $\text{[math]}$ ∪[4，+∞）

下列函数中，增长速度最快的是（　　）

C、 y=log₂₀x

池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）

A、第 $\text{[math]}$ 天

B、第 $\text{[math]}$ 天

C、第 $\text{[math]}$ 天

D、第 $\text{[math]}$ 天

下列说法正确的是（）

A、函数y=f（x）的图象与直线x=a可能有两个交点

B、函数y=log₂x²与函数y=2log₂x是同一函数

C、对于[a，b]上的函数y=f（x），若有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在（a，b）内有零点

D、对于指数函数y=a^x（a＞1）与幂函数y=xⁿ（n＞0），总存在一个x₀ ，当x＞x₀时，就会有a^x＞xⁿ

三个变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 随着变量 $\text{[math]}$ 的变化情况如下表：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

则关于 $\text{[math]}$ 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（）

A、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog₃（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（　　）

a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f₁（x）=x² ， $\text{[math]}$ ， f₃（x）=log₂x，f₄（x）=2^x ，如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（　　）

f（x）=x² ， g（x）=2^x ， h（x）=log₂x，当x∈（4，+∞）时，三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是（　　）

A、 f（x）＞g（x）＞h（x）

B、 g（x）＞f（x）＞h（x）

C、 g（x）＞h（x）＞f（x）

D、 f（x）＞h（x）＞g（x）

在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表

x	0.50	0.99	2.01	3.98
y	﹣1.01	0.01	0.98	2.00

则x、y最合适的函数是（　　）

下列函数关系中，可以看着是指数型函数y=ka^x（k∈R，a＞0且a≠1）模型的是（　　）

A、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）．

B、我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系．

C、如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系．

D、信件的邮资与其重量间的函数关系．

某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m²）与时间t（月）之间的函数关系是y=a^t^﹣¹（a＞0，且a≠1），它的图象如图所示．给出以下命题：

①池塘中原有浮草的面积是0.5m²；

②到第7个月浮草的面积一定能超过60m²

③浮草每月增加的面积都相等；

④若浮草面积达到4m² ， 16m² ， 64m²所经过时间分别为t₁ ， t₂ ， t₃ ，则t₁+t₂＜t₃ ，其中所有正确命题的序号是（）

填空题

试探究下列三个函数，当x足够大后，其增长速度最快的是

①y=10x³②y=100•lgx③y= $\text{[math]}$ ．

甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f_i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，f₃（x）=x，f₄（x）=log₂（x+1），有以下结论：

①当x＞1时，甲走在最前面；

②当x＞1时，乙走在最前面；

③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．

其中，正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．

地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数．①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x﹣q）²+p．

（以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依此类推）．

（1）为准确研究其价格走势，应选种价格模拟函数．

（2）若f（0）=4，f（2）=6，预测该果品在月份内价格下跌．（5月、6月）

解答题

函数f（x）=2^x和g（x）=x³的部分图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），且x₁＜x₂ ．

（Ⅰ）请指出示意图中曲线C₁、C₂分别对应哪一个函数？

（Ⅱ）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由；

（Ⅲ）结合函数图象示意图，请把f（6），g（6），f（2011）、g（2011）四个数按从小到大的顺序排列．

20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO₂体积分数增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO₂体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO₂体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x（即当年数与1989的差）的关系，模拟函数可选用二次函数f（x）=px²+qx+r（其中p，q，r为常数）或函数 g（x）=ab^x+c（其中a，b，c为常数，且b＞0，b≠1），

（1）根据题中的数据，求f（x）和g（x）的解析式；

（2）如果1994年大气中的CO₂体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．

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