浙江省宁波市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

已知复数 （ 为虚数单位），则 （    ）．

已知 中， ，且 ，则 周长为（    ）．

如图，水平放置的矩形 ， ， ，则其直观图的面积为（    ）．

已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（    ）．

给出下列4个命题，其中正确的命题是（    ）．

①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．

在三棱锥 中，已知 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 的外接球的体积为（    ）．

已知在 中， ， 分别是 ， 上的点， ， ，若 （ ， 为实数），则 的值为（    ）．

某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ）．

已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（    ）．

对任意向量 ， ， ，下列关系式中恒成立的是（    ）．

已知复数 （ 为虚数单位），复数 满足 ，则下列结论正确的是（    ）．

已知 ， ， 是三个不同平面， ， ， 为三条不同直线，且 ， ， ，则（    ）．

已知向量 ， ，则 ．

如图，三棱台 的上、下底边长之比为 ，记三棱锥 体积为 ，三棱台 的体积为 ，则 ．

已知 ， ， ，则 的最大值为．

已知 为 内一点， ，则 ， 的面积之比为．

  

（Ⅰ）在复数范围内解方程： ；

（Ⅱ）如图，在矩形 中， ， ， 为 中点，点 在边 上，若 ，求 的值．

某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在 、 、 、 四个位置建四座观景台，在凸四边形 中， 千米， 千米．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）现要在 、 两处连接一根水下直管道，已知 ，问最少应准备多少千米管道．

已知三棱锥 ， 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 是以 为斜边的直角三角形， 为 上一点， 为 上一点，且 ．

（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为 中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证： 平面 ；

（Ⅱ）若 平面 ，直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等，且 ，求三棱锥 的体积．

首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段 ， ， ， ， 分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求出图中 的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；

（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．

在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．

（Ⅰ）求角 ；

（Ⅱ）若 ，点 为线段 的中点， ，求 ， ．

如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，点 在线段 上， 平面 ， ．

（Ⅰ）判断 点在 的位置并说明理由；

（Ⅱ）记直线 与平面 的交点为 ，求 的值；

（Ⅲ）若异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求二面角 的平面角的正切值．