福建省青少年“大梦杯”2022年数学水平测试试题

已知二次函数 的图象交x轴于A(x₁ ， 0)，B(x₂ ， 0)两点，交y轴于点C(0，3)，若 ，且△ABC的面积为3，则a+b（   ）

已知实数x，y满足 且 ，则 的值为（   ）

将形如3m和 （m，n为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为 若第k个数 ，则k的值为（   ）

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（   ）

已知正整数a，b，c，d满足：a<b<c<d，a+b+c+d=2022， ，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（   ）

若正数a，b，c满足abc=1， ，则 .

如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为.

若素数p，使得 是一个完全平方数，则p=.（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.）

如果对任意的n个不大于1的非负实数 总有 成立，则正整数n的最大值为.

同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积，即如果存在三个正有理数a，b，c，使得 ，且 ，则称n为同余数.如果正整数n为同余数，则称n为整同余数.由于5是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，6是三边长分别为3，4，5的直角三角形的面积，7是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，所以5，6，7都是同余数，且是整同余数.如何判断一个正整数是否为同余数至今尚未完全解决.关于同余数的第一个重要结论是费马（Fermat）在17世纪证明的1不是同余数.在 ， 中，令 ， ，得 .因此，若正整数n是同余数，则二元三次不定方程 有有理数解；若正整数n使得二元三次不定方程 有有理数解，则n是同余数.这样，古老的同余数问题与现代的椭圆曲线 的有理点（横、纵坐标均为有理数的点）之间建立了联系.阅读上述材料，请你写出椭圆曲线 上的一个有理点坐标(x，y)=.

已知开口向上的抛物线 与直线：y=ax+c，y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点.

如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F，过点B作AC的垂线，垂足为H.求证：E，H，F三点共线.

将1，2，3，…，16这16个数分成8组 若 .求 的最小值.

必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 ， 为两组实数， 是 的任一排列，则 .

已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数.