2022年高考数学真题试题（北京卷）

已知全集 ，集合 ，则 （   ）

若复数 满足 ，则 （   ）

若直线 是圆 的一条对称轴，则 （   ）

已知函数 ，则对任意实数 ，有（ ）

已知函数 ，则（ ）

设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（   ）

在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（   ）

若 ，则 （   ）

已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（   ）

在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（   ）

函数 的定义域是．

已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．

若函数 的一个零点为 ，则 ； ．

设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为； 的最大值为．

已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论：

① 的第2项小于3；    ② 为等比数列；

③ 为递减数列；    ④ 中存在小于 的项。

其中所有正确结论的序号是．

在 中， ．

（I）求 ：

（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．

如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点．

（I）求证： 平面 ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 与平面 所成角的正弦值。

条件①： ；

条件②： ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80，  9.70，  9.55，  9.54，  9.48，  9.42，  9.40，  9.35，  9.30，  9.25；

乙：9.78，  9.56，  9.51，  9.36，  9.32，  9.23；

丙：9.85，  9.65，  9.20，  9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程：

（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。

已知函数 ．

（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；

（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性；

（III）证明：对任意的 ，有 ．

已知 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列．

（Ⅰ）判断 是否为5-连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；

（Ⅱ）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；

（Ⅲ）若 为 连续可表数列， ，求证： ．