3.9函数模型及其应用——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）-组卷题库站

单选题

某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位： $\text{[math]}$ ）与时间t（单位：h）间的关系为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， k是正的常数．如果在前 $\text{[math]}$ 污染物减少19%，那么再过 $\text{[math]}$ 后污染物还剩余（）

某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（）

（参考数据： $\text{[math]}$ ）

声音大小（单位： $\text{[math]}$ ）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单位： $\text{[math]}$ ）变化.已知声压x与声音大小y的关系式为 $\text{[math]}$ .根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85 $\text{[math]}$ .若某新建企业运行时测得的声音大小为60 $\text{[math]}$ ，符合《工业企业噪声卫生标准》规定，则此时声压为（）

A、 2 $\text{[math]}$

B、 20 $\text{[math]}$

C、 0.2 $\text{[math]}$

D、 0.02 $\text{[math]}$

某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： $\text{[math]}$ ）满足函数关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 $\text{[math]}$ 的保鲜时间是192小时，在22 $\text{[math]}$ 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 $\text{[math]}$ 的保鲜时间是（）

搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $\text{[math]}$ （单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量m（除燃料外，单位：kg）的函数关系是 $\text{[math]}$ ．当火箭的最大速度为11.5km/s时， $\text{[math]}$ 约等于（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 $\text{[math]}$ 的素数个数可以表示为 $\text{[math]}$ 的结论．若根据欧拉得出的结论，估计 $\text{[math]}$ 以内的素数的个数为（）（素数即质数， $\text{[math]}$ ，计算结果取整数）

为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（）

某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利（）

我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将每年5月12日定为全国“防灾减灾日”．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系式： $\text{[math]}$ ，其中E为地震释放出的能量，M为地震的里氏震级．已知2008年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级，2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 $\text{[math]}$ ，其中k为常数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）

区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有 $\text{[math]}$ 种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行 $\text{[math]}$ 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 $\text{[math]}$ 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）来描述该物种累计繁殖数量 $\text{[math]}$ 与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且 $\text{[math]}$ ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（）

异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率 $\text{[math]}$ 与其体重 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则 $\text{[math]}$ 为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流 $\text{[math]}$ 时，放电时间 $\text{[math]}$ ，则当放电电流 $\text{[math]}$ ，放电时间为（）

2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，航天技术得以发展，得益于如下的齐奥尔科大斯基公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为燃料燃烧前与燃烧后的火箭质量， $\text{[math]}$ 是燃料喷出的速度， $\text{[math]}$ 是火箭的初速度， $\text{[math]}$ 是燃料完全燃尽时火箭的速度，现准备发射一个二级火箭（初速度 $\text{[math]}$ ），每级火箭的箭体结构的质量均为50吨，每级火箭携带的燃料质量均为250吨，燃料喷出的速度为 $\text{[math]}$ ，先点燃第一级火箭燃料，燃料燃尽后，第一级火箭自动脱离，同时点燃第二级火箭的燃料，则当第二级火箭的燃料燃尽时，火箭的速度约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过 $\text{[math]}$ ．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出三个茶温T（单位： $\text{[math]}$ ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位： $\text{[math]}$ ）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据 $\text{[math]}$ ）（）

“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 $\text{[math]}$ ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少 $\text{[math]}$ ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 $\text{[math]}$ ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为 $\text{[math]}$ ，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）

在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与燃料的质量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），火箭（除燃料外）的质量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的函数关系是 $\text{[math]}$ ．当燃料质量与火箭质量的比值为 $\text{[math]}$ 时，火箭的最大速度可达到 $\text{[math]}$ ．若要使火箭的最大速度达到 $\text{[math]}$ ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为 $\text{[math]}$ ，厚度为 $\text{[math]}$ 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为 $\text{[math]}$ ，厚度变为 $\text{[math]}$ .在理想情况下，对折次数 $\text{[math]}$ 满足关系： $\text{[math]}$ ，根据以上信息，一张长为40cm，厚度为0.1 $\text{[math]}$ 的纸经过对折后的厚度的最大值约为（）（ $\text{[math]}$ ）

我国的 $\text{[math]}$ 通信技术领先世界， $\text{[math]}$ 技术的数学原理之一是著名的香农 $\text{[math]}$ 公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 $\text{[math]}$ 的公式 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）”，其中 $\text{[math]}$ 是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦）， $\text{[math]}$ 是信道内部的高斯嗓声功率（瓦），其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比．根据此公式，在不改变 $\text{[math]}$ 的前提下，将信噪比从 $\text{[math]}$ 提升至 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 大约增加了 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值大约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

声压级 $\text{[math]}$ ，是一个表示声强大小的量，单位为dB（分贝），其中 $\text{[math]}$ 为特定的点声源的声功率级，是常量，r为测试点与点声源的距离（单位：米），当测试点从距离点声源2米处移到1米处时，声压级约增加了 $\text{[math]}$ （）

在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为 $\text{[math]}$ ， 1个感染者在每个传染期会接触到 $\text{[math]}$ 个新人，这 $\text{[math]}$ 个人中有 $\text{[math]}$ 个人接种过疫苗（ $\text{[math]}$ 称为接种率），那么1个感染者传染人数为 $\text{[math]}$ .已知某种传染病在某地的基本传染数 $\text{[math]}$ ，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（）

《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁， $\text{[math]}$ ．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中义工年龄不满24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为（）

新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $\text{[math]}$ 描述累计感染病例数 $\text{[math]}$ 随时间 $\text{[math]}$ （单位：天）的变化规律，其中指数增长率 $\text{[math]}$ ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ $\text{[math]}$ ）（）

一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，应该经过（）小时向病人的血液补充这种药．（附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1）

某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.35万台，由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好，为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测后几个月的产量，通过模拟多个函数模型，发现模拟函数 $\text{[math]}$ 比较接近客观实际，用该函数模型估计第5个月的产量是（单位：万台）（）

纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
11	12	…	19	20	21	22	23	24	25	…
2048	4096	…	524288	1048576	2097152	4194304	8388608	16777216	33554432	…

如 $\text{[math]}$ ，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算 $\text{[math]}$ .那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 落在区间（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多选题

某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 $\text{[math]}$ ，劳累程度 $\text{[math]}$ ，劳动动机 $\text{[math]}$ 相关，并建立了数学模型 $\text{[math]}$ ，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）

填空题

交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离 $\text{[math]}$ （单位：m）关于车速v（单位： $\text{[math]}$ ）的函数模型为 $\text{[math]}$ ；刹车距离 $\text{[math]}$ （单位：m）关于车速v（单位： $\text{[math]}$ ）的函数模型为 $\text{[math]}$ ，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速 $\text{[math]}$ （约 $\text{[math]}$ ），路口宽度为 $\text{[math]}$ ，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮s（保留两位有效数字）．

某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭元.

在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式 $\text{[math]}$ 是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 $\text{[math]}$ 取决于信道宽带 $\text{[math]}$ ，信道内信号的平均功率 $\text{[math]}$ ，信道内部的高斯噪声功率 $\text{[math]}$ 的大小，其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比．若不改变宽带 $\text{[math]}$ ，而将信噪比 $\text{[math]}$ 从11提升至499，则最大信息传递率 $\text{[math]}$ 会提升到原来的倍．（结果保留一位小数）

调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放 $\text{[math]}$ 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于 $\text{[math]}$ ，则额外奖励 $\text{[math]}$ 分（ $\text{[math]}$ 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.

①当 $\text{[math]}$ 时，若某家庭某月产生 $\text{[math]}$ 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换元；

②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 $\text{[math]}$ %，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量 $\text{[math]}$ （毫克/每立方米）与时间 $\text{[math]}$ （小时）成正比.药物释放完毕后， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 常数， $\text{[math]}$ ）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到 $\text{[math]}$ 毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

解答题

某公司经过测算，计划投资 $\text{[math]}$ 两个项目. 若投入 $\text{[math]}$ 项目资金 $\text{[math]}$ (万元)，则一年创造的利润为 $\text{[math]}$ (万元)：若投入 $\text{[math]}$ 项目资金 $\text{[math]}$ (万元)，则一年创造的利润为 $\text{[math]}$ （万元）.

以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》.

年份	传统能源发电			新能源发电		总装机容量
年份	火力发电	水力发电	核能发电	太阳能发电	风能发电	总装机容量
2015	10.06	3.20	0.27	0.43	1.31	15.27
2016	10.60	3.32	0.34	0.76	1.47	16.49
2017	11.10	3.44	0.36	1.30	1.64	17.84
2018	11.44	3.53	0.45	1.74	1.84	19.00
2019	11.90	3.56	0.49	2.10	2.05	20.10
2020	12.45	3.70	0.50	2.53	2.82	22.00

请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题：

为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是 $\text{[math]}$ 毫克，（即 $\text{[math]}$ ）.

图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形 $\text{[math]}$ 是由四个相等的小正方形（如 $\text{[math]}$ ）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形 $\text{[math]}$ 中的展览区域，小正方形 $\text{[math]}$ 中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设 $\text{[math]}$ 的边长为300米， $\text{[math]}$ 的周长为180米.