2023年中考数学探究性试题复习8 一元一次方程

一般情况下＋＝不成立，但有数可以使得它成立.例如a＝b＝0.我们称使得＋＝ 成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为（a，b）.若（a，2）为“相伴数对”，则a的值为.

对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与.我们规定： .例如： .当满足等式时，的值为.

在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程与方程填“是”或“不是”同解方程；若关于的两个方程与是同解方程，；若关于的两个方程与是同解方程，．

定义：若a+b=2，则称a与b是关于2的平衡数．

给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 ， 第二个数记为 ， 第三个数记为 ， 依此类推，第n个数记为（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中， ， ， ， ， .规定运算.即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，.

已知一列，数 ， ， ， …，具有以下规律： ， .

例：若 ， 则 ， ，

， ，

， …

请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.

阅读材料：

我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果 ， 那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.

例如： ， ， ，

则称数对 ， ， 是“和积等数对”.

根据上述材料，解决下列问题：

【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离 ， 线段AB的中点表示的数为 ．

【知识应用】

如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），根据以上信息，回答下列问题：

定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“牛牛”数；“牛牛”数的作用：

若x＞0，则[x]＝x-2；若x＜0，则[x]＝x+2，规定[0]＝0

例：[1]＝1-2＝-1，[-2]＝-2+2＝0．

已知为不相等的实数，且均不为 ， 现定义有序实数对的“真诚值”为： ， 如数对的“真诚值”为： ， 数对的“真诚值”为：.

如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．

例如：方程的解是 ， 方程的解是

所以：方程是方程的“2—后移方程”．

阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，表示有理数对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数对应的点到有理数2对应的点的距离，例如， ， 表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．

请根据上面的材料解答下列问题：

数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x²+x-1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a²+a-1.当x＝3时，f（3）＝3²+3-1＝11.

阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，

解法一：我们可以运用整体思想来解.移项得 ， ，

， ， 或.

解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：

①当时，原方程可化为 ， 解得 ， 符合；

②当时，原方程可化为 ， 解得 ， 符合.

原方程的解为或.

解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论.

问题：结合上面阅读材料，解下列方程：

定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.

定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程和为“美好方程”.

数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，例如 ， 并把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示，例如时多项式的值记为.

探究题：阅读下列材料，规定一种运 ， 例如 ， 再如 ， 按照这种运算的规定，请解答下列问题：

东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x₁ ， x₂ ， x₃ ， 称为数列x₁ ， x₂ ， x₃ ， 计算|x₁|， ， ， 将这三个数的最小值称为数列x₁ ， x₂ ， x₃的最佳值．例如对于数列2，−1，3，因为 ， = ， = ， 所以数列2，−1，3的最佳值为 ．

东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为 ． 根据以上材料，回答下列问题：