2023年中考数学探究性试题复习16 圆

作者UID:15457577

日期: 2024-09-27

三轮冲刺

综合题

“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题.

如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的直径，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点．

新定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若几何图形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有公共点，则称几何图形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的关联图形，特别地，若 $\text{[math]}$ 的关联图形 $\text{[math]}$ 为直线，则称该直线为 $\text{[math]}$ 的关联直线．如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的关联图形，直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的关联直线．

阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在弦 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

学习小组中的一位同学进行了如下证明：

如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

……

请完成下列的任务：

婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.

【证明体验】

如图，已知 $\text{[math]}$ 的半径为1，P是平面内一点.

如图①，已知矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点E从点B出发，沿边 $\text{[math]}$ 运动至点C停止.以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 交于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德 $\text{[math]}$ ，公元前 $\text{[math]}$ 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条弦（即折线 $\text{[math]}$ 是圆的一条折弦）， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则从 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 所作垂线的垂足 $\text{[math]}$ 是折弦 $\text{[math]}$ 的中点，即 $\text{[math]}$ .下面是运用“截长法”证明 $\text{[math]}$ 的部分证明过程.

证明：如图2，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，

$\text{[math]}$ ，

又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ .

综合与实践

问题情境：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l，圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.

概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经过点A，并与点A的对边 $\text{[math]}$ 相切于点D，则该 $\text{[math]}$ 就叫做 $\text{[math]}$ 的切接圆.根据上述定义解决下列问题：

数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.

如图，小明所在学习兴趣小组在探究“如何测量环形花坛面积（阴影部分）”的方法，准备了下列工具：①卷尺；②直木条（足够长）；③T型尺（EF所在的直线垂直平分线段CD）.

操作探究题

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