2023-2024学年北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定（提升卷）

日期: 2025-04-01 同步测试来源：出卷网

选择题

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E，F分别为边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点G，H分别为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 1

C、 $\text{[math]}$

D、 2

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .给出下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的最小值为3.其中正确的结论有（）

A、 1个

B、 2个

C、 3个

D、 4个

已知：正方形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

对角线长为4cm的正方形其边长为（　　）

A、 2cm

B、 $\text{[math]}$ cm

C、 4cm

D、 $\text{[math]}$ cm

如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A、 3

B、 2 $\text{[math]}$

C、 5

D、 $\text{[math]}$

下列判断中错误的是（）

A、四个角相等的四边形是矩形

B、对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

如图，点E是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点，把 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 位置．若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为36， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 6

D、 $\text{[math]}$

下列命题中，真命题是（）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形

B、对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C、四条边相等的四边形是矩形

D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【教材呈现】下图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式．如图，三个边长相同的正方形重叠在一起， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（）

A、 2

B、 4

C、 8

D、 $\text{[math]}$

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将菱形的“接近度”定义为 $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ 越小，菱形越接近正方形.

①若菱形的一个内角为 $\text{[math]}$ ，则该菱形的“接近度”为；

②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形.

如图，直线l上有三个正方形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积分别为9和25，若抛一颗石子，落在阴影部分的概率为.

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，将边 $\text{[math]}$ 绕着点A旋转，当点B落在边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上的点E处时， $\text{[math]}$ 的度数为．

正方形 $\text{[math]}$ 的对称中心为点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则该正方形的周长为.

如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是度．

解答题

如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G．求证：矩形 $\text{[math]}$ 为正方形；

如图，菱形ABCD的边长为4， $\text{[math]}$ ，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长.

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分別为E、F.求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形.

如图，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，探究线段BE，FD与EF之间的数量关系．某同学探究的方法大致是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到AE=AG，BE=GD，证明∠EAF=∠GAF=45°，再证△EAF≌△GAF，最后通过转化可得出结论：EF=BE+FD．请帮该同学写出证明过程．

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