2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.4 空间向量的应用

来源：出卷网

日期: 2025-03-06

同步测试

选择题

已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方向向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则平面ABC的一个法向量可以是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑” $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

若直线l的方向向量与平面 $\text{[math]}$ 的法向量的夹角等于 $\text{[math]}$ ，则直线l与平面 $\text{[math]}$ 所成的角等于（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ .连 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折成三棱锥 $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球表面积的最小值时，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 0

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，线段 $\text{[math]}$ 上有两个动点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），且 $\text{[math]}$ ．下列说法不正确的是（）

A、当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

B、当 $\text{[math]}$ 运动时，三棱锥体积 $\text{[math]}$ 不变

C、当 $\text{[math]}$ 运动时，存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$

D、当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 为定值

若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，则能使 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 的是（　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，正四面体 $\text{[math]}$ （所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，当 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离最大时，该正四面体在平面 $\text{[math]}$ 上的射影面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ 是直线l的方向向量， $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量．若 $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，有下列四个结论：

① $\text{[math]}$ ；

②点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；

③二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ；

④若四面体 $\text{[math]}$ 的所有顶点均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，则球 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .

其中所有正确结论的个数是（）

A、 1

B、 2

C、 3

D、 4

如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是该长方体外接球上一点，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间距离的最大值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多项选择题

如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的为（）

在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ 分别为正四面体棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为面 $\text{[math]}$ 内任意一点，则下列结论正确的是（）

填空题

如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，E为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则点C到平面 $\text{[math]}$ 的距离等于.

已知向量 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量，向量 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量，若直线 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

已知长方体 $\text{[math]}$ 的底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，若 $\text{[math]}$ ，则该长方体的外接球的表面积为；记 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 方向上的单位向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （m，n为常数）的最小值为．

在空间直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

若空间中有三点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为；点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，若空间中的动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是．（请用正确命题的序号作答）

①若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ；

④若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹构成的平面图形的面积为 $\text{[math]}$ ．

解答题

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的动点，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 是圆柱 $\text{[math]}$ 的轴截面， $\text{[math]}$ 是圆柱的母线，圆柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

如图所示多面体ABCDEF中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ 是正三角形，四边形ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

如图四棱锥 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在底面的射影为圆心 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上.

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