2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练培优卷(冀教版)

若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（     ）

方程的根是 ， ， 则的值为（ ）

对于一元二次方程 ， 下列说法：

若 ， 则方程必有一根为；

若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；

若方程两根为 ， 且满足 ， 则方程 ， 必有实根 ， ；

若是一元二次方程的根，则 ．

其中正确的（ ）

若关于的方程的两个实数根满足关系式 ， 则的值为（ ）

已知二次函数 ，当 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 总相等，则关于 的一元二次方程 的两根之积为（    ）

已知 ， 是实数，定义： ． 若是常数，则关于的方程： ， 下列说法正确的是（      ）

已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（    ）

如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（    ）

若 ， 是方程的两个实数根，则代数式的值等于．

若和是一元二次方程的两个实数根，则．

阅读材料：

如果 ， 是一元二次方程 的两根，那么有 .这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例 是方程 的两根，求 的值.

解法可以这样：

则 .

请你根据以上解法解答下题：

已知 是方程 的两根，求：

已知实数 ， 且满足 ， ． 请解决下列问题：

如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ， 且满足数轴上x₁ ， x₂所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）

①方程x²﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax²＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x₁＝3x₂ ， 关于x的方程px²﹣x0是关于2的等距方程．

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²－（2k＋3）x＋k²＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

a是大于零的实数，已知存在唯一的实数 ， 使得关于的二次方程的两个根均为质数求的值．

已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²-2（n-1）x+n²-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

已知关于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：

①若a－b＋c＝0则b²－4ac≥0；②若方程ax²＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax²＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是．(填写序号)