【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函数1

噪声污染问题越来越受到重视， 用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级 ， 其中常数 是听觉下限间值， 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离/m	声压级/dB
燃油汽车	10	60~90
混合动力汽车	10	50～60
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， 则（ ）

化简的值为（         ）

已知 ，则 （    ）

已知 ，则（    ）

生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 ， 一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且 ， 在物种入侵初期，基于现有数据得出 ， .据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ ， ）（ ）

基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与 ， 近似满足.有学者基于已有数据估计出 ， ， 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据： ， ）

“绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（    ）（参考数据：）

昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足 ， 其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为 ， 则b＝（    ）

已知数列的前项和为 ， 若 ， 则（    ）

17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知 ， ， 设 ， 则N所在的区间为（ ）

数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ， 不是质数．现设 ， 表示数列的前项和，若 ， 则（ ）

已知函数 若存在实数 ， ， ， ， 满足 ， 则的取值范围是（ ）

已知是各项均为正数的等差数列，其公差为 ， 若 ， ， 也是等差数列，则其公差为（ ）

已知 ， ， ， 则（ ）

已知函数 ， 则．

在财务审计中， 我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中， 首位非零的数字是 这九个事件不是等可能的. 具体来说， 随机变量 是一组没有人为编造的首位非零数字，

则 . 则根据本 • 福特定律， 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).

某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列 ， 则第5行从左数起第8个数的值为；表示第行所有项的乘积，设 ， 则.

音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f， ， ， ， ， ， ， 其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为 ， ， 称为全音，称为半音，则．

已知 ， ， ， 则在 ， ， ， ， ， 这6个数中，值最小的是．

已知 ， 则的大小关系是，.

我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于 ， 则的最小值为.（参考数据：）

若实数 ， 且 ， 则.

在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.已知 ， 则实数x，y的大小关系为，.

已知 ， 则；．

已知 ， 则.

已知函数 ， ．

已知数列为等比数列，是与的等差中项，为的前项和．

设函数 ， ， .

在等差数列中，为的前n项和， ， 数列满足 ．

记为数列的前项和，已知 ， （为正整数）.

已知函数 ， ， 其中 ．

已知数列 ， ， 满足 ， ， .

正项数列的前n项和满足 ， 且 ．

已知函数.

已知函数.