【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数与数学模型2

某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为 ， 其中 ， k是正的常数．如果在前污染物减少19%，那么再过后污染物还剩余（       ）

某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 ， 劳累程度 ， 劳动动机相关，并建立了数学模型 ， 已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（   ）

某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系 ， 其中 ， 是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为 ， ， 且 ， 那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（ ）

（参考数据：）

为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y（单位：mg/L，）与时间t（单位：h）的关系式为（ ， k为正常数，表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（       ）（结果四舍五入保留整数，参考数据）

2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 ， 其中k为常数， ， 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）

生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且 ， 在物种入侵初期，基于现有数据得出 ， .据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为（ ， ）（   ）

双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式 ， 其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间 ， 则当放电电流 ， 放电时间为（   ）

茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过 ． 一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为 ， ， 给出三个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②；③ ． 根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据）（ ）

2021年7月20日河南省遭受特大暴雨表击，因灾死亡失踪398人．郑州日降雨量 ， 其中最大小时降雨量达 ， 通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度．其中小雨日降雨量在以下；中雨日降雨量为；大雨日降雨量为；基雨日降雨量为；大暴雨日降雨量为；特大暴雨日降雨量在以上，为研究宜春某天降雨量，某同学自制一个高为的无盖正四棱柱形容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心块，如图1所示，接了24小时的雨水（不考虑水的损耗），水面刚好没过四棱锥顶点 ， 然后盖上盖子密封，将容器倒置，如图2所示，水面还恰好没过点 ， 则当天的降雨的级别为（   ）

时代青年李华同学既读圣贤书，也闻窗外事，他关注时政，养成了良好的摘抄习惯，以下内容来自他的摘抄笔记：

过去一年，我们统筹推进疫情防控和经济社会发展，主要做了以下工作：全年国内生产总值增长2.3%；城镇新增就业1186万人，全国城镇调查失业率降到5.2%；年初剩余的551万农村贫困人口全部脱贫；……

今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长6%以上；城镇新增就业1100万人以上，城镇调查失业率5.5%左右；居民收入稳步增长；生态环境质量进一步改善，主要污染物排放量继续下降；粮食产量保持在1.3万亿斤以上；……

——摘自李克强总理2021年3月5日政府工作报告

全国总人口为1443497378人，其中：普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1411778724人；香港特别行政区人口为7474200人；澳门特别行政区人口为683218人；台湾地区人口为23561236人；……

——摘自2021年5月11日第七次人口普查公报

过去一年全年主要目标任务较好完成，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就；国内生产总值达到114万亿元，增长8.1%；城镇新增就业1269万人，城镇调查失业率平均为5.1%；居民人均可支配收入实际增长8.1%；污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量维续下降，地级及以上城市细颗粒物平均浓度下降9.1%；粮食产量1.37万亿斤，比上一年增长 ， 创历史新高；落实常态化防控举措，疫苗全程接种覆盖率超过85%；……

—摘自李克强总理2022年3月5日政府工作报告

根据以上信息，下列结论正确的有（   ）

长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：

（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 ；

（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．

记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

① ；② ；③ ；④ ．

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是．

李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 商品获利8元．现计划在“五一”期间对 商品进行广告促销，假设售出 商品的件数 （单位：万件）与广告费用 （单位：万元）符合函数模型 ．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 应投入万元．

某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天.(结果取整)

某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.

为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 与时间 的函数关系为 （如图所示），实验表明，当药物释放量 对人体无害. （1） ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.

2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下：

2019年1月1日后个人所得税税率表

全月应纳税所得额	税率（%）
不超过3000元的部分	3
超过3000元至12000元的部分	10
超过12000元至25000元的部分	20
超过25000元至35000元的部分	25

个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是元.

《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差 文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两文．

某种物质在时刻 的浓度 与 的函数关系为 （ 为常数）.在 和 测得该物质的浓度分别为 和 ，那么在 时，该物质的浓度为 ；若该物质的浓度小于 ，则最小的整数 的值为.

我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐 人，两车空出来；每车坐 人，多出 人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车数为辆.

我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为尺．

如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM₁M₂M₃N与路径MN₁N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣ （1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．

某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）．

考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.

某公司经过测算，计划投资两个项目. 若投入项目资金(万元)，则一年创造的利润为(万元)：若投入项目资金(万元)，则一年创造的利润为（万元）.

为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）.

以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》.

年份	传统能源发电			新能源发电		总装机容量
	火力 发电	水力 发电	核能 发电	太阳能 发电	风能 发电
2015	10.06	3.20	0.27	0.43	1.31	15.27
2016	10.60	3.32	0.34	0.76	1.47	16.49
2017	11.10	3.44	0.36	1.30	1.64	17.84
2018	11.44	3.53	0.45	1.74	1.84	19.00
2019	11.90	3.56	0.49	2.10	2.05	20.10
2020	12.45	3.70	0.50	2.53	2.82	22.00

请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题：

图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形是由四个相等的小正方形（如）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域，小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长为300米，的周长为180米.

如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 与 的长度之和为6米， ，现要给三棱锥 的侧面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.

如图，点 在点 的正东方向，现有一个圆形音乐喷泉，点 为喷泉中心，用无人机于点 正上空的点 处，测得点 的俯角为 ，点 的俯角为 ， 四点共线， 均在圆 上，且 .已知圆 的面积为 平方米，且 米.

如图，某城市设立以城中心 为圆心、 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心 正东方向上有一条高速公路 、西南方向上有一条一级公路 ，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆 相切的直道 ．已知通往一级公路的道路 每公里造价为 万元，通往高速公路的道路 每公里造价是 万元，其中 为常数，设 ，总造价为 万元．

某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度 (单位：摄氏度)与时间t(单位：小时) 近似地满足函数关系 ，其中 为大棚内一天中保温时段的通风量.