【基础卷】1.5三角函数的应用—北师大版数学九年级下册同步测试

日期: 2025-04-16 同步测试来源：出卷网

选择题（每题3分，共30分）

如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）

A、 $\text{[math]}$ 米

B、 $\text{[math]}$ 米

C、 50sin40°米

D、 50cos40°米

已知一个不等臂跷跷板 $\text{[math]}$ 长4米，支撑柱 $\text{[math]}$ 垂直地面，如图1，当 $\text{[math]}$ 的一端A着地时， $\text{[math]}$ 与地面夹角的正弦值为 $\text{[math]}$ ﹔如图2，当 $\text{[math]}$ 的另一端B着地时， $\text{[math]}$ 与地面夹角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，则支撑柱 $\text{[math]}$ 的长为（）

A、 0.5米

B、 0.6米

C、 $\text{[math]}$ 米

D、 0.8米

苏州虎丘塔是我国江南著名的园林景点．它建成于宋代（961年），共7层，高h米．由于地基的原因，塔身自400年前就开始向西北方向倾斜．据测量，至今塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的角度为 $\text{[math]}$ ，被称为“东方比萨斜塔”．如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是（）米

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在婺州公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，一辆小车沿着坡度为 $\text{[math]}$ 的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（）

A、 50米

B、 $\text{[math]}$ 米

C、 $\text{[math]}$ 米

D、 100米

河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶ $\text{[math]}$ ，则AC的长是（）

A、 6 $\text{[math]}$ 米

B、 12米

C、 3 $\text{[math]}$ 米

D、 6 $\text{[math]}$ 米

已知从点B观测热气球A的俯角为 $\text{[math]}$ ，从点C观测热气球A的仰角为 $\text{[math]}$ ，则两条视线的夹角 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，为测楼房 $\text{[math]}$ 的高，在距楼房50米的 $\text{[math]}$ 处，测得楼顶的仰角为 $\text{[math]}$ ，则楼房 $\text{[math]}$ 的高为（）

A、 $\text{[math]}$ 米

B、 $\text{[math]}$ 米

C、 $\text{[math]}$ 米

D、 $\text{[math]}$ 米

如图，一艘船向东航行，上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东60°方向，且与船相距 $\text{[math]}$ 海里；上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向.则这艘船航行的速度为（）

A、 $\text{[math]}$ 海里/时

B、 $\text{[math]}$ 海里/时

C、 $\text{[math]}$ 海里/时

D、 $\text{[math]}$ 海里/时

如图，一艘海轮位于灯塔 $\text{[math]}$ 的北偏东55°方向的 $\text{[math]}$ 处，已知 $\text{[math]}$ 海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 $\text{[math]}$ 的长是（）

A、 6海里

B、 $\text{[math]}$ 海里

C、 $\text{[math]}$ 海里

D、 $\text{[math]}$ 海里

填空题（每题3分，共15分）

一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为海里（结果保留根号）．

如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 $\text{[math]}$ ，已知窗户的高度 $\text{[math]}$ ，窗台的高度 $\text{[math]}$ ，窗外水平遮阳篷的宽 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（结果精确到 $\text{[math]}$ ）．

如图，河坝横断面迎水坡 $\text{[math]}$ 的坡比是 $\text{[math]}$ （坡比是坡面的铅直高度 $\text{[math]}$ 与水平宽度 $\text{[math]}$ 之比），水平宽度 $\text{[math]}$ ，则坡面 $\text{[math]}$ 的长度是m.

如图所示，河坝横断面迎水坡 $\text{[math]}$ 的坡比为1∶2（坡比是坡面的铅直高度 $\text{[math]}$ 与水平宽度 $\text{[math]}$ 之比），坝高 $\text{[math]}$ ，则坡面 $\text{[math]}$ 的长度是m.

如果在A点处观察B点的仰角为 $\text{[math]}$ ，那么在B点处观察A点的俯角为（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

解答题（共7题，共55分）

动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角 $\text{[math]}$ 时，顶部边缘 $\text{[math]}$ 处离桌面的高度 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角 $\text{[math]}$ 时（点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘 $\text{[math]}$ 处离桌面的高度 $\text{[math]}$ 的长.（结果精确到 $\text{[math]}$ ；参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图（1）所示的坡路进行改造．如图（2）所示，改造前的斜坡的高度 $\text{[math]}$ 米，坡角 $\text{[math]}$ ；将斜坡 $\text{[math]}$ 的高度 $\text{[math]}$ 降低20米后，斜坡 $\text{[math]}$ 改造为斜坡 $\text{[math]}$ ，其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？（结果保留根号）

楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： $\text{[math]}$ ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.

一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）

如图，海岸线上有两座灯塔 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，灯塔 $\text{[math]}$ 位于灯塔 $\text{[math]}$ 的正东方向，与灯塔 $\text{[math]}$ 相距 $\text{[math]}$ .海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔 $\text{[math]}$ 的北偏东30°方向，与灯塔 $\text{[math]}$ 相距的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处；乙船位于灯塔 $\text{[math]}$ 的北偏东15°方向，与灯塔 $\text{[math]}$ 相距 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处.求：

如图①中 $\text{[math]}$ 共线，若 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 的范围： $\text{[math]}$ 的范围： $\text{[math]}$ .

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