【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—北师大版数学九年级下册同步测试

抛物线与x轴的一个交点为 ， 若 ， 则实数的取值范围是（ ）

如果二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²＋bx＋c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根，且a＜ b， 则a、b、m、n的大小关系是（   ） 

已知二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象交于（x₁ ， y₁）和（x₂ ， y₂）两点，（    ）

方程 （k是实数）有两个实根 、 ，且 ， ，那么k的取值范围是（   ）

如图，抛物线 经过点 和 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若双曲线 经过点 ，则以 、 为根的一元二次方程是 ．其中正确结论的个数为（   ）

抛物线（a，b，c为常数，）经过两点，下列四个结论：

①一元二次方程的根为；②若点在该抛物线上，则；③对于任意实数t，总有；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个.其中正确的结论是（   ）

规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：

①方程x²+2x﹣8=0是倍根方程；

②若关于x的方程x²+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；

③若关于x的方程ax²﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax²﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；

④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程mx²+5x+n=0是倍根方程．

上述结论中正确的有（   ）

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣

其中正确的结论个数有（   ）

已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＜0； ②2a-b＝0； ③一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个根是-3和1；④当y＞0时，-3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大；⑥若点E（-4，y₁），F（-2，y₂），M（3，y₃）是函数图象上的三点，则y₁＞y₂＞y₃ ， 其中正确的有（ ）个

已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点 ， 对称轴为直线 ， 下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和 ， 且 ， 则 ． 其中正确的结论有（     ）

      

二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax²+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 ．

若关于x的一元二次方程 的两个不等实数根都在-1和1之间（不包括-1,1），则a的取值范围是.

已知，二次函数 ， 规定 ， 若使的正数x有且只有三个，则a的取值范围是.

已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过 ， 且 ． 下列四个结论：

①；②若 ， 则；

③若点 ， 在抛物线上， ， 且 ， 则；

④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是（填写序号）．

对于实数a，b，定义运算“*”：； ， 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．

数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．

同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．

在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象 ．

已知抛物线的顶点坐标为 ， 设是拋物线与轴交点的横坐标．

我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点 ， 点.

已知二次函数 ．

已知关于x的一元二次方程ax²+x+2=0.

借鉴已有研究函数的经验，探索函数 的图象与性质，研究过程如下，请补充完整.

我们约定[a，b，c]为二次函数的“相关数”．

【特例感知】

“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为 ，

“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为；

“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为；