吉林省长春市108中2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

日期: 2025-04-03 月考试卷来源：出卷网

选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

二次根式 $\text{[math]}$ 有意义，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

下列二次根式中与 $\text{[math]}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用配方法解方程 $\text{[math]}$ 下列配方正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

二道区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， $\text{[math]}$ 年投入 $\text{[math]}$ 万元，预计 $\text{[math]}$ 年投入 $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ 设教育经费的年平均增长率为 $\text{[math]}$ ，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长之比为（）

A、 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$

西周时期，丞相周公且设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表 $\text{[math]}$ 如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 $\text{[math]}$ 高为 $\text{[math]}$ 已知，冬至时北京的正午日光入射角 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，则立柱根部与圭表的冬至线的距离 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 约为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上一点，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，那么点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题（本大题共6小题，共18.0分）

计算： $\text{[math]}$ =

关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

如图，河坝横断面迎水坡 $\text{[math]}$ 的坡度为 $\text{[math]}$ ，坝高 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 $\text{[math]}$ 的值为．

如图，在平面直角坐标系中，等腰直角 $\text{[math]}$ 是等腰直角 $\text{[math]}$ 以原点 $\text{[math]}$ 为位似中心的位似图形，且位似比为 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 点坐标为．

如图，点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

解方程： $\text{[math]}$ .

计算： $\text{[math]}$ ．

图 $\text{[math]}$ 、图 $\text{[math]}$ 均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $\text{[math]}$ ，每个小正方形的顶点称为格点， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上 $\text{[math]}$ 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图 $\text{[math]}$ 是大桥的实物图，图 $\text{[math]}$ 是大桥的示意图 $\text{[math]}$ 假设你站在桥上点 $\text{[math]}$ 处测得拉索 $\text{[math]}$ 与水平桥面的夹角是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 处距离大桥立柱 $\text{[math]}$ 底端 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，已知大桥立柱上 $\text{[math]}$ 点距立柱顶端 $\text{[math]}$ 点的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，求大桥立柱 $\text{[math]}$ 的高 $\text{[math]}$ 结果精确到 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

小林同学从家出发，步行到离家 $\text{[math]}$ 米的劳动公园散步，速度为 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 分钟； $\text{[math]}$ 分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速原路返回家中，哥哥返回家中时，小林刚好到达公园，两人离家的距离 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 与小林出发长的时间 $\text{[math]}$ 分钟 $\text{[math]}$ 的函数关系如图所示．

阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $\text{[math]}$ 善于思考的小明进行了以下探索：设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为整数 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样小明就找到了一种把类似 $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法 $\text{[math]}$ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 $\text{[math]}$ 页的部分内容．

猜想：如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 根据画出的图形，可以猜想： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度运动，在 $\text{[math]}$ 边上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度运动，在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，两条平行线相交于点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 重合，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

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