湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月第一次质量检测试卷-组卷题库站

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）

已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知复数z满足（z-2i）(1-i）=2，则 $\text{[math]}$ =（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是非零实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：

年份	2018	2019	2020	2021	2022
年份代码 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5
年人均借阅量 $\text{[math]}$ （册）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	16	22	28

（参考数据： $\text{[math]}$ ）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量 $\text{[math]}$ 关于年份代码 $\text{[math]}$ 的回归分析模型为 $\text{[math]}$ ，则2023年的年人均借阅量约为（）

抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，一束平行于 $\text{[math]}$ 轴的光线 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 射入，经过抛物线上的点 $\text{[math]}$ 反射后，再经抛物线上另一点 $\text{[math]}$ 反射后，沿直线 $\text{[math]}$ 射出，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的距离最小值为（）

某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起成 $\text{[math]}$ ，折起过程中，当 $\text{[math]}$ 时，四面体 $\text{[math]}$ 体积为（）

A、 2

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，则下列结论正确的是（）

已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 位于第一象限内一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

若数列 $\text{[math]}$ 中任意连续三项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，均满足 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为跳跃数列.则下列结论正确的是（）

已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，过动点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为切点），使得 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为.

如图，圆柱 $\text{[math]}$ 的底面半径和母线长均为3， $\text{[math]}$ 是底面直径，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在母线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是上底面的一个动点，且 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为.

已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的两个不同极值点，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）

在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .

在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

证明下面两题：

湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月第一次质量检测试题