北师大版数学九（上）期中题型汇编15 探究性试题

阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)的两根为x₁ ， x₂ ， 则两根与方程系数之间有如下关系： ，x₁·x₂＝ ．根据该材料解题：已知x₁ ， x₂是方程x²−2x=1的两实数根．

求：

阅读材料，并回答问题：

下面是小明解方程的过程：

解：移项，得

．     ①

配方，得

， ②

．     ③

由此可得

，     ④

， ． ⑤

下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：

数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（  ）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？

解：设…，

根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300＋ ×40）＝6080，

…

根据小明所列方程，完成下列任务：

阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程 ，通过因式分解可以把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解.

问题：

探究：如图①，直线l₁∥l₂∥l₃ ， 点C在l₂上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l₁与l₃于点A、B，连结AB，过点C作CD⊥l₁于点D，延长DC交l₃于点E．

综合与实践

问题情境：如图，在中， ， 将绕点B顺时针旋转得到 ， 连接 ， 连接并延长交于点F．

数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．

如图①，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是线段上一点，的延长线交于点 ． 若 ， 求的值．

  　

综合与实践

问题情境：如图1，四边形和都是正方形，点G，F分别在边和上，点E在正方形的内部．

请阅读以下材料，并完成相应的问题：

角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 ．

下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过点C作 ． 交BA的延长线于点E．…

任务：

解答题

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．

探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．

因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，

所以EF＝FG＝GH＝HE＝ ， 设EB＝x，则BF＝﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC

∴BF＝AE＝﹣x

在Rt△AEB中，由勾股定理，得

x²+（﹣x）²＝1²

解得，x₁＝x₂＝

∴BE＝BF，即点B是EF的中点．

同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．

所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍

探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）

探究三：已知边长为1的正方形ABCD，      ▲ 一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）

探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）

请阅读以下材料，并完成相应的问题：

角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 ．

下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过点C作 ． 交BA的延长线于点E．…

【了解概念】

在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边.

【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．

（问题提出）：

请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程 即 得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是 ，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积为 ，所以大正方形的面积又可表示为 ，据此易得 ．

　 　　　　

任务：

阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿尔·花拉子米(约780~约850) ，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x²+2x-35=0的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x²+2·x×1+1² ， 即x²+2x+ 1，而由原方程x²+2x-35=0变形得x²+2x+1=35+1，即边长为x+1的正方形面积为36．所以(x+1)²=36，则x=5．

任务：

综合与实践：

问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：

已知，在菱形ABCD中，BD为对角线， ，AB=4，将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为 （单位°）．旋转后的菱形为 ．在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决．

 

如图

（问题情境）

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

（探究展示）

请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．