山西省临汾市洪洞二中2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

日期: 2025-04-02 月考试卷来源：出卷网

单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

计算 $\text{[math]}$ =（　　）

A、 4

B、 2

C、 2 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

式子 $\text{[math]}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A、 x＜2

B、 x≥2

C、 x=2

D、 x＜-2

下列二次根式中，与-5 $\text{[math]}$ 是同类二次根式的是（　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知a= $\text{[math]}$ -1，b= $\text{[math]}$ ，则a与b的关系（　　）

A、 a=b

B、 ab=1

C、 a=-b

D、 ab=-1

已知a﹣b＝2 $\text{[math]}$ ﹣1，ab＝ $\text{[math]}$ ，则（a＋1）（b﹣1）的值为（）

A、 ﹣ $\text{[math]}$

B、 3 $\text{[math]}$

C、 3 $\text{[math]}$ ﹣2

D、 $\text{[math]}$ ﹣1

如果关于x的一元二次方程ax²+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023-a-b的值为（　　）

A、 -2021

B、 2021

C、 -2025

D、 2025

观察式子： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由此猜想 $\text{[math]}$ ．上述探究过程蕴含的思想方法是（）

A、特殊与一般

B、整体

C、转化

D、分类讨论

下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3（x-3）＝（x-3）²的过程：

缘缘：

两边同除以（x-3）得：

3＝x-3，

解得：x＝6．

芳芳：

移项，得：3（x-3）-（x-3）²＝0，

提取公因式，得：（x-3）（3-x-3）＝0，

∴x-3＝0或3-x-3＝0，

解得：x₁＝3，x₂＝0．

下列判断正确的是（　　）

A、缘缘和芳芳都错

B、缘缘错，芳芳对

C、缘缘和芳芳都对

D、缘缘对，芳芳错

若关于x的一元二次方程（k-2）x²+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 k＜ $\text{[math]}$ 且k≠2

D、 $\text{[math]}$ 且k≠2

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm² ，则点P运动的时间是（　　）

A、 2s

B、 3s

C、 4s

D、 5s

填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）

计算 $\text{[math]}$ 的值是．

已知x＝ $\text{[math]}$ ，则x- $\text{[math]}$ ＝．

若根式 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为同类最简二次根式，则 $\text{[math]}$ 等于．

若关于x的一元二次方程kx²-3x+2＝0有实数根．则k的取值范围是．

如图，在一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是 $\text{[math]}$ ，则小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ．

解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

已知关于x的方程kx²-2x-1＝0有两个不相等的实数根，

平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶 $\text{[math]}$ 元，售价为每顶 $\text{[math]}$ 元，平均每周可售出 $\text{[math]}$ 顶 $\text{[math]}$ 商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于 $\text{[math]}$ 元，经调查发现：每降价 $\text{[math]}$ 元，平均每周可多售出 $\text{[math]}$ 顶 $\text{[math]}$ 设每顶头盔降价 $\text{[math]}$ 元，平均每周的销售量为 $\text{[math]}$ 顶．

阅读与思考

互为有理化的一对无理根的一元二次方程

我们知道，在一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0，a ， b ， c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x₁＝ $\text{[math]}$ ，x₂＝ $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是一个无理数，则x₁ ， x₂也都是无理数，我们把x₁和x₂这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．

例如：一元二次方程x²-3x+1＝0的两根为 $\text{[math]}$ ，x₂＝____，它们就是互为有理化的一对无理根．

又如：方程x²＝7的两根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也是互为有理化的一对无理根．

判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：

①x₁和x₂是两个无理数；②x₁•x₂是一个有理数．

如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是无理数，

且 $\text{[math]}$ ＝____．

∴x₁ ， x₂是互为有理化的一对无理根．

显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为 $\text{[math]}$ ，积为 $\text{[math]}$ ．

任务：

如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．

阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\text{[math]}$ ．继续进行以下的探索：设a+b $\text{[math]}$ （其中a ， b ， m ， n都是正整数），则有a+b $\text{[math]}$ ．∴a＝m²+2n² ， b＝2mn ，这样就得出了把类似a+b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

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