北京市朝阳区重点中学2023-2024学年八年级上学期数学月考考试试卷（9月）-组卷题库站

选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

如图，用三角板作 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，已知 $\text{[math]}$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

下列判定两直角三角形全等的方法，错误的是(　　)

根据下列已知条件，能画出唯一的 $\text{[math]}$ 的是（）

A、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到射线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的形状，大小是唯一确定的，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A、 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

填空题（本大题共8小题，共24.0分）

如图所示的网格是正方形网格，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在格点上，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 填“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”或“=” $\text{[math]}$ ．

赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条 $\text{[math]}$ 即图中的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两根木条 $\text{[math]}$ ，这其中的数学原理．

如图是由射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 组成的平面图形，则 $\text{[math]}$ °．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的度数为．

如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的周长之差为， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积之差为．

如图，已知 $\text{[math]}$ ，若以“ $\text{[math]}$ ”为依据证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，还需要添加的条件是．

甲乙两位同学进行一种数学游戏 $\text{[math]}$ 游戏规则是：两人轮流对 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 对应的边或角添加等量条件 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 某轮添加条件后，若能判定 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．

轮次	行动者	添加条件
$\text{[math]}$	甲	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	乙	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	甲	$\text{[math]}$

上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 $\text{[math]}$ 填写所有正确结论的序号 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 若第 $\text{[math]}$ 轮甲添加 $\text{[math]}$ ，则乙获胜；
$\text{[math]}$ 若甲想获胜，第 $\text{[math]}$ 轮可以添加条件 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 若乙想获胜，可修改第 $\text{[math]}$ 轮添加条件为 $\text{[math]}$ ．

如图，平面中两条直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，对于平面上任意一点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则称有序实数对 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的“距离坐标” $\text{[math]}$ 特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为 $\text{[math]}$ 下列说法：
$\text{[math]}$ “距离坐标”是 $\text{[math]}$ 的点只有点 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ “距离坐标”是 $\text{[math]}$ 的点只有 $\text{[math]}$ 个；
$\text{[math]}$ “距离坐标”是 $\text{[math]}$ 的点共有 $\text{[math]}$ 个；
正确的有 $\text{[math]}$ 填序号 $\text{[math]}$ ．

解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

已知：如图，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的两点，有下面四个关系式：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ， ④ $\text{[math]}$ ．

请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．
已知：
求证：
证明：

在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示 $\text{[math]}$ 你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $\text{[math]}$ 简写成“等角对等边” $\text{[math]}$ 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
甲的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	乙的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	丙的方法：证明：取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图， $\text{[math]}$ ，请你再添加一个条件，使得 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高线，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【提出问题】
我们已经知道了三角形全等的判定方法 $\text{[math]}$ 和直角三角形全等的判定方法 $\text{[math]}$ ，请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形 $\text{[math]}$ ”的情形进行探究．
【探索研究】
已知：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 的取值范围．

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $\text{[math]}$ 简写成“等角对等边” $\text{[math]}$ 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
甲的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	乙的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	丙的方法：证明：取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

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