2023-2024学年北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明 同步练习（基础卷）

为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点记为点到达点 ， 点对应的数是（ ）

如图，直线被所截， ， 求证： ．

下列是佳宁同学的证明过程：

证明：

     

         

     

     （填依据）．

则下列关于上述证明过程中括号内填依据正确的是（ ）

 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图， ，

      ．

      ，

      ，

      ，

      ．

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）

在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（    ）

如图，在中， ， 是的边上的中线，那么可以证明≌ ， 这里证明全等所使用的判定方法是（ ）

用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明 ， 需要证明和 ， 则这两个三角形全等的依据是（    ）

在和中， ， ， 若要证明≌ ， 还需要补充一个条件，则正确的补充方法是（ ）

用4个长为 ， 宽为的长方形拼成如图所示的大正方形，则用这个图形可以验证的恒等式是（  ）

观察下列关于自然数的等式：

3²﹣4×1=4+1    ①

5²﹣4×2=16+1   ②

7²﹣4×3=36+1   ③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式 ；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：

请观察以下算式：

① ；

② ；

③ ；

……

试写出符合上述规律的第五个算式；

验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；

观察下列关于自然数的等式：

2×4﹣1²+1=8

3×5﹣2²+1=12

4×6﹣3²+1=16

5×7﹣4²+1=20

…

利用等式的规律，解答下列问题：

（1）若等式8×10﹣a²+1=b（a，b都为自然数）具有以上规律，则a等于多少，a+b等于多少．

（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并验证它的正确性．

发现：一个三位数的百位上数字为a，十位上数字为(a+1)，个位上数字为(a＋2)；把这个三位数的百位上数字与个位上的数字交换得到一个新三位数，新三位数与原三位数的差是9的倍数．

验证：

观察以下等式：

第1个等式： ，

第2个等式： ，

第3个等式： ，

……

按照以上规律，解决下列问题：

已知x≠1．观察下列等式：

(1-x)(1+x)=1-x² ；

(1-x)(1+x+x²)=1-x³；

(1-x)(1+x+x²+x³)=1-x⁴；

实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．

有三个多项式：① ，② ，③ ，请挑选其中两个多项式，满足所挑选的两个多项式的和是单项式，并加以验证（只要求写出一种正确的选法）.

美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”． 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，验证勾股定理．

发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数的平方和．

验证：

观察：

= = =2 ，即 =2 ； = = =3 ，即 =3 .猜想 等于什么，并通过计算验证你的猜想.

阅读下列材料：

小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：

小铭：“我知道一般当m≠n时， ≠ .可是我见到有这样一个神奇的等式：

= （其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”

小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”

完成下列任务：

发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；

验证：

据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图彤，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为”洛书”，即现在的三阶幻方。三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等．不信，我们来验证一下．

一般地，一个n行n列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方．

请将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．

想一想：这9个数与原来9个数有什么关系?这9个数可以由原来9个数怎么变过来?