山东省济南市历下区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）

如图，在Rt△ABC中， ， ， ， 则∠A的正切值是（ ）

如图，两条直线被三条平行线所截，若 ， ， 则EF为（ ）

如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）

已知点 ， ， 都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）

围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）

一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）

如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点O ， M ， N都在格点上，点P ， Q在格线上，则点P与点Q之间的距离为（ ）

如图，在Rt△ABC中， ， ， 点D为边AB上一点，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在边AB上的点E处．若 ， 则BD为（ ）

定义：在平面直角坐标系中，对于点 ， 当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点A与点B都是点的“倍增点”，连接OA ， OB ， AB ， 则△OAB的面积为（ ）

已知点在反比例函数上，则．

已知 ， 则．

为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞20条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞500条鱼。如果在这500条鱼中有5条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为条．

2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感。如图，若点C可看做是线段AB的黄金分割点（），cm，则cm．（结果保留根号）

如图，反比例函的图象经过菱形OABC的顶点A ， 点B在y轴上，过点B作y轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D ． 若 ， 则点D的坐标是．

如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC ， 交BC于点E ， ， 交CD于点F ， 以AE ， EF为边，作矩形AEFG ， FG与DA相交于点H ． 若 ， ， 则．

 计算：

 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC ．

如图，AB、CD相交于点O ， 已知 ， ， ， ， 求证： ．

如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形OABCD的五个顶点坐标分别为 ， ， ， ， ．

 九年级组织“11·9全国消防日”消防安全知识竞赛活动，其中本次竞赛成绩分为“优秀”“良好”“一般”“较差”四个等级，为了解全体九年级同学的消防安全知识水平，随机抽取了m个同学的竞赛成绩进行统计整理，根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图：

请结合以上信息完成下列问题：

 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．

 在“济南天下第一泉”风景区随处可以看到历代名人雅士留下的匾额和楹联，它们丰富了园林的人文内涵．如图1，趵突泉公园南门上悬挂着的匳额，图2中的线段AB就是这块匾额的截面示意图．已知米， ． 从水平地面点C处看点B ， 仰角 ， 且视线经过射线MA上的点D ， 从点E处看点A ， ． 且米．（参考数据：）

如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A ， B两点，其中 ．

 

 小静发现希腊数学家曾利用反比例函数图象将一个角三等分，具体方法如下：

第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P ．

第二步：以P为圆心、以20P为半径作弧，交函数的图象于点R ．

第三步：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M ， 连接OM ， 得到∠MOB（如图1）．

这时 ．

为什么？小静想要证明这个结论却没有思路，便询问老师．

老师进行了指导：分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q（如图2），解答这道题的关键就是证明O ， Q ， M三点共线，在平面直角坐标系中，证明三点共线最直接的做法是先用两点确定一条直线的表达式，再证明第三点在这条直线上．

老师指导后，小静若有所思．请你和小静一起，完成下列问题．

图1      图2