备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第14章锐角三角函数及其应用

日期: 2025-03-26 一轮复习来源：出卷网

实数的运算

计算： $\text{[math]}$ ．

计算： $\text{[math]}$ ．

计算： $\text{[math]}$

特殊角的三角函数值

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF ， ③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH ， ⑤是正方形EFGH ，直角顶点E ， F ， G ， H分别在边BF ， CG ， DH ， AE上．

拥抱型-实际应用

日照间距系数反映了房屋日照情况，如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为楼间水平距离， $\text{[math]}$ 为南侧楼房高度， $\text{[math]}$ 为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②，山坡 $\text{[math]}$ 朝北， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，坡度为 $\text{[math]}$ ，山坡顶部平地 $\text{[math]}$ 上有一高为 $\text{[math]}$ 的楼房 $\text{[math]}$ ，底部 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 点的距离为 $\text{[math]}$ .

为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 $\text{[math]}$ 点和 $\text{[math]}$ 点，行进路线为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 点的南偏东 $\text{[math]}$ 方向 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 点的北偏东 $\text{[math]}$ 方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ .

⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角 $\text{[math]}$ 的度数；

⑵求检查点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离(结果保留根号).

如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．

背靠背型-实际应用

小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时 $\text{[math]}$ ，已知树高 $\text{[math]}$ 米，楼房 $\text{[math]}$ 米，E处离地面25米．

我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点 $\text{[math]}$ 处测得阿育王塔最高点 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ，再沿正对阿育王塔方向前进至 $\text{[math]}$ 处测得最高点 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；小亮在点 $\text{[math]}$ 处竖立标杆 $\text{[math]}$ ，小亮的所在位置点 $\text{[math]}$ 、标杆顶 $\text{[math]}$ 、最高点 $\text{[math]}$ 在一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

母子型-实际应用

如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2， $\text{[math]}$ 是灯杆， $\text{[math]}$ 是灯管支架，灯管支架 $\text{[math]}$ 与灯杆间的夹角 $\text{[math]}$ .综合实践小组的同学想知道灯管支架 $\text{[math]}$ 的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得 $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：

$\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 $\text{[math]}$ 处发射，当飞船到达 $\text{[math]}$ 点时，从位于地面 $\text{[math]}$ 处的雷达站测得 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ ，仰角为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 后飞船到达 $\text{[math]}$ 处，此时测得仰角为 $\text{[math]}$ ．

综合与实践

【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高．

生活情境应用

图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.

图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图.

已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，AB＝1.30米.

图1是某越野车的侧面示意图，折线段 $\text{[math]}$ 表示车后盖，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该车的高度 $\text{[math]}$ ．如图2，打开后备箱，车后盖 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与水平面的夹角 $\text{[math]}$ ．

如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰 $\text{[math]}$ 遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的延长线交直线 $\text{[math]}$ 于点D．

图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度 $\text{[math]}$ ，识别的最远水平距离 $\text{[math]}$ 。

公园草坪上有一架秋千 $\text{[math]}$ ，秋千静止时，底端 $\text{[math]}$ 到地面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，从坚直位置开始，向右可摆动的最大夹角为 $\text{[math]}$ ，已知秋千的长 $\text{[math]}$ ．

图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 $\text{[math]}$ 垂直地面 $\text{[math]}$ ，支架 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，支架 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，支架 $\text{[math]}$ 平行地面 $\text{[math]}$ ，篮筐 $\text{[math]}$ 与支架 $\text{[math]}$ 在同一直线上， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ .

跨学科背景应用

如图，光从空气斜射入水中，入射光线 $\text{[math]}$ 射到水池的水面B点后折射光线 $\text{[math]}$ 射到池底点D处，入射角 $\text{[math]}$ ，折射角 $\text{[math]}$ ；入射光线 $\text{[math]}$ 射到水池的水面C点后折射光线 $\text{[math]}$ 射到池底点E处，入射角 $\text{[math]}$ ，折射角 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为法线．入射光线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和折射光线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 及法线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都在同一平面内，点A到直线 $\text{[math]}$ 的距离为6米．

如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 $\text{[math]}$ ，此时各叶片影子在点M右侧形成线段 $\text{[math]}$ ， O的对应点为D，测得 $\text{[math]}$ ，此时太阳的与地面的夹角为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）．

问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁 $\text{[math]}$ ，使得横梁不能移动，结构稳固.

图2是长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $\text{[math]}$ 的半圆.圆心分别为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，纵梁是底面半径为 $\text{[math]}$ 的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H₁ ， H₂是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH₁的形状，并求 $\text{[math]}$ 的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形 $\text{[math]}$ 的周长.

几何综合应用

如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外的一点， $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

如图，点D ， E在以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点B ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为H ，交 $\text{[math]}$ 于点F ．

如图1，已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方旋转，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

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