备考2024年中考数学核心素养专题十一 数与式的最值问题

已知正整数a，b，c满足2a=b+270，a+7c=6b，则a的最小值为（ ）

已知实数m，n满足 ， 则的最大值为（    ）

代数式的最小值是（    ）

设 是有理数， ，则正确的是（     ）

求的最小值（　　）

定义：关于x的一元二次方程： 与  ， 称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）²+4＝0与3（x﹣3）²+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）²+1＝0与（a+2）x²+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax²+bx+2019的最大值是（　　）

定义平面内任意两点P(x₁ ， y₁)、Q(x₂ ， y₂)之间的距离d_PQ=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距d_PQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x²+2x上一点，则曼距d_AB的最小值（ ）

已知点 在直线 上，且 ，则（   ）

关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ）

在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点 ， 且当时，函数的最小值为 ， 最大值为 ， 则m的取值范围是（ ）

对于实数a、b ，定义新运算 ， 若二次函数 ，则下列结论正确的有（       ） 

①方程 的解为x = 0 或x= − 1； ②关于x的方程 有三个解，则 ； ③当x<− 1 时，y随x增大而增大； ④当x > − 1 时，函数有最大值 0． 

嘉淇准备完成题目：解一元二次方程□.若“□”表示一个数字，且一元二次方程□有实数根，则“□”的最大值为；此时方程的解为.

已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为，最大值为.

已知x，y，z为实数，满足 ， 那么x²+y²+z²的最小值是

已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 ．

已知点P（m，n）在双曲线上 ， 则m²-3mn+n²的最小值为 ．

由直线和直线是正整数与轴及轴所围成的图形面积为 ， 则的最小值是．

若一个四位正整数  满足：a+c＝b+d ， 我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ． 

已知非负数 ， 且有 ． 设 ， 记的最大值为的最小值为 ， 求和的值．

阅读下面的材料：

我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式 的最小值.方法如下：

∵ ，由 ，得 ；

∴代数式 的最小值是4.

我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．

例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．

解：

∵无论x取何实数，总有 ．

∴ ， 即的最小值是 ．

即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．

问题：

【阅读理解】我们知道 ， 所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值.

例如：求的最小值问题.

解：∵ ，

∵ ， ∴ ，

∴的最小值为－8.

【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：

对于“已知 ， 求的最大值”这个问题，小明是这样求解的：

∵ ， ∴ ， ∴

∴ ， 所以的最大值为.

请你按照这种方法计算：当时，的最小值.

在关于的函数中，对于实数 ， ， 当且时，函数有最大值 ， 最小值 ， 设 ， 则称为的“极差函数”此函数为关于的函数；特别的，当为一个常数与无关时，称有“极差常函数”．

在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．

若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数 ， 我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.

对于平面直角坐标系 中的点P和图形M， 给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作 ．已知直线 与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 的半径为1．

若二次函数y₁＝ax²＋4x＋b与y₂＝bx²＋4x＋a均有最小值，记y₁ ，y₂的最小值分别为m，n．