备考2024年中考数学探究性训练专题4 乘法公式

如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数：如3=2²﹣1，5=3²﹣2² ， 7=4²﹣3² ， 8=3²﹣1² ， 9=5²﹣4² ， 11=6²﹣5²…探索从1开始第20个智慧数是．

定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ， n的平方差，且 ， 则称这个正整数为“方差优数”，例如 ， 12就是一个“方差优数”，可以利用进行研究，若将“方差优数”从小到大排列，则第10个“方差优数”是．

南宋数学家杨辉在研究(a+b)ⁿ展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)⁰ ， (a+b)¹ ， (a+b)² ， (a+b)³ ， …，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知(a+b)⁰＝1，(a+b)¹＝a+b，(a+b)²＝a²+2ab+b² ， (a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³ ． 按杨辉三角写出(a+b)⁵的展开式是．

如图，长方形是由若干个小长方形和小正方形组成，从面积的角度研究这个图形，可以得到一个数学等式，这个数学等式是．（用图中的字母表示出来）

乘法公式的探究及应用.

小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；

小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是 (写成多项式乘法的形式).

小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达).

已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a²﹣21b²﹣c²+4ab+10bc＝0，请你探究a，b，c之间满足的等量关系，并说明理由．

 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算： ．

解： ，

①

②

．

阅读材料：若x²－2xy＋2y²－8y＋16＝0，求x、y的值.

解：∵x²－2xy＋2y²－8y＋16＝0，

∴（x²－2xy＋y²）＋（y²－8y＋16）＝0

∴（x－y）²＋（y－4）²＝0，

∴（x－y）²＝0，（y－4）²＝0，

∴y＝4，x＝4.

根据你的观察，探究下面的问题：

已知a、b满足a²＋b²－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.

阅读材料：若x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，求x、y的值.

解：∵x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，∴(x²－2xy＋y²)＋(y²－8y＋16)=0，∴(x－y)²＋(y－4)²=0，∴(x－y)²=0，(y－4)²=0，∴y=4，x=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²＋b²－4a－6b＋13=0.求△ABC的边c的值.

类比探究.

  

【数学探究】

教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 .

综合与探究

【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到 ， 基于此，请解答下列问题．

【感知】已知 ， ， 求的值．
解： ， ， 即 ．
， ，
【探究】参考上述过程，解答下列问题：

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.以图①中的正方形ABCD为例：

探究：如图①，用含a，b的式子完成以下题目中的（2）和（3）：（1）正方形ABCD的边长为 ， 因为正方形的面积等于正方形边长的平方，所以正方形ABCD的面积可以表示为.

知识探究：

如图1是两直角边长分别为 ， 的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形，其中图2和图3的四边形、四边形都是正方形、请你根据几何图形部分与整体的关系完成下列各题

问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．

证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：

（a+b）²或  a²+2ab+b²

∴（a+b）² =a²+2ab+b²

这就验证了两数和的完全平方公式．

类比解决：

①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）

问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？

如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³

而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²

尝试解决：

②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³=  ▲  ． （要求写出结论并构造图形写出推证过程）．

问题拓广：

③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=  ▲  ． （直接写出结论即可，不必写出解题过程）

综合实践．

活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系

活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图

入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．

问题探究过程

 数学活动课上，老师提出一个探究问题：

制作一个体积为 ， 底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3 ， 且不考虑接缝）．

某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．

下面是他们的探究过程，请补充完整：