备考2024年中考数学探究性训练专题6 分式

小明和小林在探索代数式x²+(x≠0)有没有最大（小）值时，小明做了如下探索：

∵x²++2-2 =(x+)²-2≥-2，

∴小明的结论是x²+的最小值为-2

小林做了如下探索

∵x²+-2+2 =(x-)²+2≥2，

小林的结论是x²+的最小值为2；则（ ）

观察给定的分式： ，猜想并探索规律，第10个分式是，第n个分式是.

已知a，b，c，d都不等于0，并且 ， 根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明．

（1）和；   （2）和；   （3）和（a≠b，c≠d）．

我们把分子为1的分数称为“单位分数”，如 ， 任何一个“单位分数”都能写成两个“单位分数”的和，如 ， 若单位分数(n为大于1的正整数)写成两个单位分数的和是 ， (其中a，b为正整数)， 探索正整数a，b与n²之间存在的关系式．

探究:

观察下列式子，并探索它们的规律：

描述证明：

小明在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：

探索规律

阅读材料：

《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

例如：已知 ，求 的值.

解：原式 .

问题解决：

（提示：我们知道，如果 ，那么 ．）

已知 ．如果将分式 的分子、分母都加上同一个不为 的数后，所得分式的值比 是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．

问题探索：

（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．

（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？

（3）请你用上面的结论解释下面的问题：

建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．

嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知 ， 若分式分子、分母都加上 ， 所得分式的值增大了还是减小了？”．
嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路．
淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路．
两人的解题思路都正确．

（阅读学习）

阅读下面的解题过程：

已知： ，求 的值．

解：由  知x≠0，所以 ，即

所以

故 的值为 ．

（类比探究）

材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.

类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.

例如：.

.

材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：

a	…					0	1	2	3	4	…
	…					无意义	1				…

请根据上述材料完成下列问题：

问题探索：

阅读理解：

材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：

	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…
	…	-0.25		-0.5	-1	无意义	1				…

从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．

材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：

根据上述材料完成下列问题：

阅读理解

材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如： ．

类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．

例如： ．

．

材料2：为了研究字母x和分式 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：

x						0	1	2	3	4
						无意义	1	0.5		0.25

请根据上述材料完成下列问题：

在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．

比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：

2²×2³=2⁵ ， 2³×2⁴=2⁷ ， 2²×2⁶=2⁸…⇒2^m×2ⁿ=2^m+n…⇒a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整数）．

我们亦知： ， ， ， …