备考2024年中考数学探究性训练专题20 四边形

我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360°，这一过程体现的数学思想是（   ）

对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为 ， 宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 ， 面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即 ， 据此易得 ． 小明用此方法解关于的方程 ， 其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（    ）

在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（   ）

数学家莫伦在年发现了世界上第一个完美长方形（如图），即它恰好能被分割成个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，平行四边形被分割成个小正三角形（如图2），已知中间最小的两个正三角形和边长均为 ， 平行四边形的周长为（   ）

  

如图是跷跷板的示意图，立柱 与地面垂直，以 为横板 的中点， 绕点 上下转动，横板 的 端最大高度 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设 ， ，通过计算得到此时的 ，再将横板 换成横板 ， 为横板 的中点，且 ，此时 点的最大高度为 ，由此得到 与 的大小关系是： （填“ 、“ ”或“ ”）可进一步得出， 随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”）．

在图1所示的 的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①.现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形 ，发现该正方形中间的空白部分②也是一个正方形，且正方形②的面积恰好是正方形①的面积的2倍，则 的长为.

利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若 ， 则矩形的面积是．

何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形边长为1，G是边的中点，E是射线上的一个动点.

综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，

如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 ．图中 ， ， ， 表示折痕，折后 的对应点分别是 ．若 ， ， ，则纸片折叠时 的长应取．

综合与探究

如图，经过 ， 两点的抛物线与轴的另一个交点为 ．

  

          

    

【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：

已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F．

求证：点F在的平分线上．

某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：

如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得： ， ．

∴ ．

∵ ， ，

∴F在的平分结上．

    

【探究】

小星和小红在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行探究.

 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

[探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.

[动手操作]如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF.上，并使折痕经过点A，得到折痕AM.点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'.请完成：

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°<a≤90°）得到矩形AB'C'D'，连结BD..

 【探究与证明】

折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．

【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕 ， 点B，E的对应点分别为 ， ， 展平纸片，连接 ， ， ．

请完成：

【问题情境】：

数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片 ， 其中宽 ．

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

问题提出
如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系.

 综合与探究

问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形ABCD中， ， 点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE ， 将BE绕点E顺时针旋转得到FE ， 连接DF.

小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在□ABCD中，AB<BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作□DEGF.

通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中， ， 则”． 某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片进行如下操作：

综合与探究：

如图，直线：与直线：交于点 ， 直线与轴交于点 ， 点从点出发沿向终点运动，速度为每秒个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点 ， 作轴，交折线于点 ， 设运动时间为 ．

一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.

【初步探究】

【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.

某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形 ， 点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置 ， 矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点 ， 射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．