2023-2024学年沪科版初中数学七年级下册 8.4 因式分解同步分层训练培优题

下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ）

下列自然数中，能整除 3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸的是 （ ）

若2021m，则m的值为（ ）

若三角形的三条边长分别为a，b，c且a²b-a²c+b²c-b³=0 ， 则这个三角形一定是（   ）

已知M=8x²-y²+6x-2，N=9x²+4y+13，则M-N的值为（ ）

把多项式因式分解成 ， 则m的值为（ ）

对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（    ）

因式分解： .

若m+n＝2，mn＝1，则m³n+mn³+2m²n²＝．

对于一个两位数十位和个位均不为 ， 将这个两位数的十位和个位上的数字对调得到新的两位数 ， 称为的“对调数”，将放在的左侧得到一个四位数，记为 ， 将放在的右侧得到一个四位数，记为 ， 规定 ， 例如：的对调数为 ， 则 ；若为整数， ， 为整数， ， 和的十位、个位均不为 ， 的对调数与的对调数之和能被整除，则的最小值为 ．

一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数 ， 那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差例如：将交换位置后为 ， 则是一个“顺利数”，且 ， 若四位正整数 ， 的千位数字为 ， 百位数字为 ， 十位数字为 ， 个位数字为 ， 其中 ， ， ， 为整数， ， ， ， ， 且 ， 以的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数” ， 若 ， 则的值为 ；满足条件的所有数的最大值为 ．

在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x⁴-y⁴ ， 因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x²+y²)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x³-xy² ， 取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是(写出一个即可).

将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.

例如：am+an+bm+bn

 =(am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

=(a+b)(m+n).

先阅读下面的材料，再分解因式．

要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a ， 再把它的后两项分成一组，并提出b ， 从而得 ．

这时，由于中又有公因式 ， 于是可提公因式 ， 从而得到 ， 因此有 ．

这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．

阅读：一个正整数n可以分解为两个正整数p、q的积，即（规定），在n的所有这种分解中，如果两因数p、q之差的绝对值最小，则称是n的最优分解，称为n的最优分解比.

阅读理解应用

待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．

待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解 ．

因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．

故我们可以猜想可以分解成 ， 展开等式右边得：

， 根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等： ， ， ， 可以求出 ， ．

所以