2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破11 因式分解的应用

已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 的值为 （ ）

利用因式分解计算的结果是 （ ）

下列自然数中，能整除 3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸的是 （ ）

已知a≠c，若则M与N的大小关系是（ ）

若2021m，则m的值为（ ）

设n为整数，则一定能被 （   ）

已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则  的值为  （   ）

已知2x-y=1，xy=2，则4x³y-4x²y²+xy³的值为（ ）

生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是 ， 当取 ， 时，各个因式的值是： ， ， ， 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式 ， 当取 ， 时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（ ）

设 n是任意正整数，代入式子 n³-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （ ）

用简便方法计算；

有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x⁴-y⁴因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，当取x=4，y=4时，各个因式的值是：x-y=0，x+y=8x²+y²=32，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，对于多项式xy+xy⁴因式分解的结果是xy(x+y)(x²-xy+y²)，当它的第一位因式码xy和第二位因式码(x+y)构成的数是“127”时，它的第三位因式码(x²-xy+y²)是.

若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数.如， ， 则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数.则2019的智慧分解数有.

如图，现有边长为 的正方形1个，边长为 的正方形3个，边长为 的长方形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式： .

如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x²﹣25与（x＋b）²为关联多项式，则b＝；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x²﹣6x＋2不含常数项时，则A为.

已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．

把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数吗?为什么?

如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积.

用简便方法计算：2007+2007²-2007×2008．

利用因式分解说明3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸能被7整除．

若x²-5x+6能分解成两个因式的乘积，且一个因式为x-2，另一个因式为mx-n，其中m， n为两个未知的常数，请你求出m，n的值。

许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：

化简求值：

小明在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行计算，求解过程如图1所示，34的平方中，首数字3的平方对应09，尾数字4的平方对应16，….

【发现】

任意五个连续整数的平方和是5的倍数.

【验证】

阅读材料：

整体代换是一个重要的数学思想，有着广泛的应用.例如：计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体，合并同类项得-2(a+b)，再利用分配律去括号得-2a-2b.同时，我们也知道，代数的基本要义就是用字母表示数，使之更具一般性.所以，在计算a(a+b)时，同样可以利用分配律得

解决问题：

在当今的“互联网+”时代，有一种利用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式分解因式，如将多项式 分解为(x -1)(x+1)(x+2).当x=19时，x-1=18，x+1=20，x+2=21，此时可得到数字密码 182021.

教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．

例如，分解因式：x²+2x-3=(x²+2x+1)-4=(x+1)²-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；求代数式2x²+4x-6的最小值：2x²+4x-6=2(x²+2x-3)=2(x+1)²-8，可知当x=-1时，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，用配方法解决下列，问题：

【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．

例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 ， 这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．

[阅读材料]分解因式：

解：把代入 ， 发现此多项式的值为0，由此确定中有因式 ， 可设为常数)，通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.

根据以上阅读材料，完成下列问题：

先阅读材料，再回答问题：

分解因式：

解：设 ， 则原式

再将还原，得到：原式

上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：

先阅读下列材料，然后解决后面的问题.

材料：一个三位数（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数为“协和数”，同时规定c=（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8.