2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破3 分母有理化

化简 ＝（ ）

化简的结果为（    ）

无理数 的倒数是（   ）

已知 ， 则的值为（ ）

下列计算中，错误的是 （ ）

已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）

在将式子（m＞0）化简时，

小明的方法是：===；

小亮的方法是： ；

小丽的方法是：.

则下列说法正确的是（　　）

观察下列各式： ， ……， ， ……请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：的值是（ ）

在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：

甲：；

乙：.

这两位同学的解法，你认为（   ）

的一个有理化因式是 ．

像 、 、 ……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，请写出 的一个有理化因式.

直接写出下列二次根式化简后的结果：

= ， =

=， =

满足不等式 的整数 的个数是.

化简题中，有四个同学的解法如下：

①

②

③

④

他们的解法，正确的是．（填序号）

在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系

例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣ ， ＝＋；＝2﹣ ， ＝2＋；⋯．

根据小腾发现的规律，解决下列问题：

计算

解决如下问题：

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 这样的式子，我们还可以将其进一步化简： ， ，

以上这种化简的步骤，将分母乘某个因式，使得积不含有根式，叫做分母有理化．其中还可以用以下方法化简：

阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

  = = ；（一）

= = （二）

= = = ﹣1（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

化简： ．

观察下列各式：

      ，

      ，

      ，

      

依据以上呈现的规律，计算：

阅读与思考

请你阅读下列材料，并完成相应的任务．

裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如： ．

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： ， ．

阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．

如：将分母有理化，解：原式 ．

运用以上方法解决问题：

已知： ， ．

阅读材料：

（一）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

．

那么我们称这个过程为分式的分母有理化．

（二）如果我们能找到两个实数 ， 使且 ，

这样 ， 那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式．”

例如： ．

根据阅读材料解决下列问题：

阅读材料：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为 ， 所以 与 ， +1 与. 互为有理化因式.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

 .

回答问题：

我们将 ， 称为一对“对偶式”．因为 =a-b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将 和 中的“ ”去掉．例如： 。像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．

阅读下面的材料并解决问题.

     

     

     

……