备考2024年中考数学重难创新题3 函数的应用

如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S_△BDE的最大值是（  ）

如图1，在平行四边形中， ， 已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点 ， 同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）

如图， ， 在射线 ， 上分别截取 ， 连接 ， 的平分线交于点D ， 点E为线段上的动点，作交于点F ， 作交射线于点G ， 过点G作于点H ， 点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x ， 四边形与重叠部分的面积为S ， 则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）

有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ）

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=k/x上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位长度，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）

龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.如图的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程(x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y₁，y₂分别表示兔子和乌龟所走的路程).下列说法错误的是（ ）

某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（    ）．

①从开始观察时起，50天后该植物停止长高；

②直线AC的函数表达式为 ；

③第40天，该植物的高度为14厘米；

④该植物最高为15厘米．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于 ， ， ， 是方程的两个根，且 ， 则下列不等式正确的是（ ）

如图，点A ， B在反比例函数的图象上，点C ， D在反比例函数的图象上，轴，已知点A ， B的横坐标分别为2，4，与的面积之差为1，则k的值为．

如图1，在△ABC中，动点P从点A出发，沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中F为曲线DE的最低点，则△ABC的高线CG的长为.

二次函数的图像与x轴交于点、 ， 与轴交于点 ， 过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为．

如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点.若矩形的面积是 ， 则.

 小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．

在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点A(8，2)处将球传出，其运动路线为抛物线 的一部分，小亮在 B处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线 的一部分．

如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为 ． 水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米．

 网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量（件）、销售单价（元/件）在第天（x为正整数）销售的相关信息：

①与满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；

②与函数关系如下图所示；

如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为.在轴的负半轴上有一点 ， 直线AB上有一点 ， 且OD

“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：

①统计售价与需求量的数据，通过描点(图1)，发现该蔬菜需求量y_需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为 ， 部分对应值如下表：

售价x(元/千克)	…	2.5	3	3.5	4	…
需求量y=x(吨)	…	7.75	7.2	6.55	5.8	…

②该蔬菜供给量：y_供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为函数图象见图1.

③1~7月该蔬菜售价x_售价(元/千克)、成本x_成本(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为函数图象见图2.

请解答下列问题：

某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示：

直播间	活动
甲	全场六折
乙	“满 100 送 100 ” (如： 购买 190 元商品，赠 100 元购物券；购买 200 元商品， 赠200 元购物券)
丙	“满 100 堿 50” (如 ： 购买 190 元商品，只需付 140 元； 购买 200 元商品，只需付100 元)

请根据上述信息，解答下列问题：

小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如图①，在一水平放置的木板上放置一个质量为的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为 ， 弹簧测力计的示数为 ， 通过多次测量，得到如下数据：

	1	1.5	2	4
	3	4.5	6	12

阅读理解题：

阅读材料：

如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为 ， 若 ， 则 ．

证明：设 ， ∵ ， ∴ ，

易证

∴ ，

∴

∴ ，

若时，当 ， 则 ．

同理：若时，当 ， 则 ．

根据上述材料，完成下列问题：

如图2，直线与反比例函数的图象交于点 ， 与轴交于点 ． 将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点 ， 过点作轴于点 ， 过点作轴于点 ， 已知 ．

阅读与思考

下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务.

在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率与电阻之间的函数关系”的活动. 第一步，实验测量.根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率. 第二步，整理数据. R/Ω … 3 6 9 12 15 … P/W … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线，以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点. 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据.实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记.

任务：

 

【阅读理解】：

关于的函数为常数，且 ， 经过某个定点，请求出定点的坐标．

方法一：先将等式化为的形式，再根据时有无数多个解，求得定点的坐标为；

方法二：当时，；当时，；

解方程组解得 ，

     求得定点的坐标为

如图①，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气.某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面5组数据：

重物质量m/kg	2	3	4	6	8
活塞到桶底的距离h/cm	24	16	12	8	6

某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．

飞行时间	0	2	4	6	8	…
飞行水平距离	0	10	20	30	40	…
飞行高度	0	22	40	54	64	…

为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量克随时间分钟变化的数据 ， 并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．

某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示.国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.

根据背景素材，探索解决问题．                                                                                                                                                                          

自制杆秤
背 景 素 材	有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： ． 其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
	设计简易杆秤要求：设定m0=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
问题解决
任务一	确定和的值	⑴当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于 ， 的方程． ⑵当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于 ， 的方程． ⑶根据（1）和（2）所列方程，求出和的值．
任务二	确定刻线的位置	⑷根据任务一，求y关于m的函数解析式． ⑸从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x²-2x-3＜0．

解：设x²-2x-3＝0，解得：x₁＝-1，x₂＝3，

则抛物线y＝x²-2x-3与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．

画出二次函数y＝x²-2x-3的大致图象（如图所示）．

由图象可知：当-1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x²-2x-3＜0．

所以一元二次不等式x²-2x-3＜0的解集为：-1＜x＜3．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

【项目化学习】

项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．

项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用。

实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．

任务一：数据收集

记录的数据如下：

运动时间x/s	0	2	4	6	8	10	…
运动速度v/（cm/s）	10	9	8	7	6	5	…
滑行距离y/cm	0	19	36	51	64	75	…

根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：

根据以下素材，探索完成任务．

如何确定木板分配方案？
素材1	我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.
素材2	现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3	义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1	计算盒子高度	求出长方体收纳盒的高度．
任务2	确定分配方案1	若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3	确定分配方案2	为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．

某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏.设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下.

请你补全探究过程.

根据以下素材，探索完成任务.

杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅.
素材1	某快递公司规定：(1)从当地寄送杨梅到市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收元/千克. (2)寄送杨梅重量均为整数千克.
素材2

综合与实践

问题情境

小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小芗帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

数据整理

【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的坚直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为 ， 开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间	0	10	20	30	40
水面高度(观察值)	30	29	28.1	27	25.8