湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三下学期开学摸底考试数学试卷

日期: 2025-04-09 开学考试来源：出卷网

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（）

A、 240

B、 216

C、 180

D、 108

已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 22

B、 33

C、 40

D、 44

已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

B、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

C、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

D、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

我们定义一种新函数：形如 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数 $\text{[math]}$ 的图象，如图所示，下列结论错误的是（）

A、图象具有对称性，对称轴是直线 $\text{[math]}$

B、当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，函数值y随x值的增大而增大

C、当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，函数最小值是0

D、当 $\text{[math]}$ 时，函数的最大值是4

八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .给出下列结论，其中正确的结论为（）

A、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量）

在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点且 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ ，若将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到直线 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.

已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

若复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则下列正确的是（）

已知函数 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有从小到大排列的四个不同的实数根 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

已知多项式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

已知底面为正方形的四棱锥 $\text{[math]}$ 的五个顶点在同一个球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积为．

已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的最大值，若函数 $\text{[math]}$ 有3个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为钝角三角形?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．

如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为4的菱形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．

已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）设 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）是函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点，证明： $\text{[math]}$ 恒成立.

每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地 $\text{[math]}$ 河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

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