浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

日期: 2025-04-08 期中考试来源：出卷网

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（）

A、等腰三角形

B、等边三角形

C、锐角三角形

D、直角三角形

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位，则 $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 0

下列说法正确的是（）

A、过空间中的任意三点有且只有一个平面

B、四棱柱各面所在平面将空间分成27部分

C、空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面

D、若直线a在平面 $\text{[math]}$ 外，则平面 $\text{[math]}$ 内一定存在直线与a平行

若平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均是非零向量，则“ $\text{[math]}$ ”是“向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线”的（）

A、充要条件

B、充分且不必要条件

C、必要且不充分条件

D、既不充分也不必要条件

雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（）

A、 $\text{[math]}$ 米

B、 50米

C、 $\text{[math]}$ 米

D、 $\text{[math]}$ 米

已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 3

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

对于 $\text{[math]}$ ，有如下说法，其中正确的是（）

已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线 $\text{[math]}$ 长为2， $\text{[math]}$ 为母线 $\text{[math]}$ 中点，则下列结论正确的是（）

关于函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），如下结论中正确的是（）

填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

如图所示，长方形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．

在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点D，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若 $\text{[math]}$ ，则PA的最大值为．

解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 $\text{[math]}$ 分别是上、下底面圆的圆心，且 $\text{[math]}$ ，现有一箱这种的陀螺共重 $\text{[math]}$ （不包含箱子的质量），陀螺的密度为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 取3）

已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的解，复平面内表示 $\text{[math]}$ 的点A在第四象限，O是原点．

如图，在△ABC中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．

若 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的增函数，其中 $\text{[math]}$ ，存在函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 图像上存在两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 图像上存在两点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 两点横坐标相等， $\text{[math]}$ 两点横坐标相等，且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上可以对 $\text{[math]}$ 进行“ $\text{[math]}$ 型平行追逐”，即 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 型平行追逐函数”. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数， $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数．

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