北京师范大学附属中学2024~2025学年上学期九年级期中数学试卷-组卷题库站

选择题（共8小题，共16分）

2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（）

A、

B、

C、

D、

把抛物线 $\text{[math]}$ 向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

将一元二次方程 $\text{[math]}$ 通过配方转化为 $\text{[math]}$ 的形式，下列结果中正确的是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的度数为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图，已知正六边形 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，则该正六边形的边心距是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为 $\text{[math]}$ 米，那么可列方程（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

下面是“作 $\text{[math]}$ 的外接圆”的尺规作图方法．

（1）如图，分别以A，B为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，分别在直线 $\text{[math]}$ 两侧交于D，E两点，作过点D和点E的直线 $\text{[math]}$ ；

（2）分别以B，C为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，分别在直线 $\text{[math]}$ 两侧交于F，G两点，作过点F和点G的直线 $\text{[math]}$ ；

（3）直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 相交于点O；

（4）以点O为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径作出 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ ．

上述方法由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，从而知 $\text{[math]}$ 经过A，B，C三点．其中获得 $\text{[math]}$ 的依据是（）

A、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

B、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

C、角平分线上的点到角的两边的距离相等

D、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

二次函数 $\text{[math]}$ 的对称轴是 $\text{[math]}$ ，该抛物线与x轴的一个交点在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间，其部分图象如图所示，下列结论：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ， ④若点 $\text{[math]}$ 在二次函数的图象上，则关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

填空题（共8小题，共16分）

若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有一个根为1，则m的值为．

如图，点A，B，C在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ．

若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则ab．（填 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）．

请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是．

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为A，B，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解为 .

无论非零实数m取何值，抛物线 $\text{[math]}$ 一定经过的定点的坐标是．

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，C为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， P为圆上一动点，M为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为4，则 $\text{[math]}$ 长的最大值是．

解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）

解方程：

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，半径 $\text{[math]}$ ，垂足为D， $\text{[math]}$ ．

已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．

已知二次函数 $\text{[math]}$ ．

如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $\text{[math]}$ ， B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．

下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $\text{[math]}$ 及直线 $\text{[math]}$ 外一点P．

求作：直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

小于同学的作法如下：

（1）在直线 $\text{[math]}$ 的下方取一点O；

（2）以点O为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交直线 $\text{[math]}$ 于点C，D（点C在左侧），连接 $\text{[math]}$ ；

（3）以点D为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，与弧 $\text{[math]}$ 交于点Q；

（4）作直线 $\text{[math]}$ ，所以直线 $\text{[math]}$ 即为所求．

请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．

如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到 $\text{[math]}$ 点的水平距离为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）时，它距地面的竖直高度为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，点C在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E．

【项目式学习】

项目主题：车轮的形状

项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．

【合作探究】

（1）探究 $\text{[math]}$ 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为 $\text{[math]}$ ，其车轮最高点到地面的距离始终为______ $\text{[math]}$ ；

（2）探究 $\text{[math]}$ 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为 $\text{[math]}$ ，若正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，车轮轴心 $\text{[math]}$ 距离地面的最高点与最低点的高度差为______ $\text{[math]}$ ；

（3）探究 $\text{[math]}$ 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为 $\text{[math]}$ ，车轮轴心为 $\text{[math]}$ （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点 $\text{[math]}$ 经过的路径长．

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．

【拓展延伸】

如图4，分别以正三角形的三个顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，以正三角形的边长为半径作 $\text{[math]}$ 圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 $\text{[math]}$ 并不稳定．

（4）探究 $\text{[math]}$ 组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心 $\text{[math]}$ ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心 $\text{[math]}$ ”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．