上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

日期: 2025-04-09 期中考试来源：出卷网

填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分）

集合 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的真子集的个数是．

函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

若扇形的圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为2，则扇形的弧长 $\text{[math]}$ ．

记 $\text{[math]}$ 是虚数单位，设复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为.

已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则实数a的取值范围是.

5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $\text{[math]}$ ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了%.（参考数值 $\text{[math]}$ ）

函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）在 $\text{[math]}$ 上存在最小值 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的最小值是.

数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 为正整数， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

已知函数 $\text{[math]}$ 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

对任意两个非零向量 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ .若非零向量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是锐角，且 $\text{[math]}$ 是整数，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分）

a，b中至少有一个不为零的充要条件是（）

A、 ab＝0

B、 ab>0

C、 a²＋b²＝0

D、 a²＋b²>0

下列四个命题：

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

其中正确命题的个数有（）

A、 1个

B、 2个

C、 3个

D、 4个

已知函数 $\text{[math]}$ ，现有如下四个命题：

甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ；

乙：该函数图象可以由 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到；

丙：该函数在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；

丁：该函数满足 $\text{[math]}$ ．

如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A、甲

B、乙

C、丙

D、丁

我们知道，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的可导函数，其导函数为 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、函数 $\text{[math]}$ 是奇函数

D、 $\text{[math]}$

解答题（共5题，共计78分）

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 $\text{[math]}$ ，已知射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两边夹角为 $\text{[math]}$ 的公路（长度均超过3千米），在两条公路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别设立游客上下点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从观景台 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 建造两条观光线路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米．

已知函数 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 满足对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 连续的.

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