2025高考一轮复习（人教A版）第五十二讲一元线性回归模型及其应用-组卷题库站

选择题

广告支出x/万元	2	5	8	11	15	19
利润y/万元	33	45	50	53	58	64

根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为 $\text{[math]}$ ．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）

根据下表数据，通过最小二乘法求得 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程为： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

$\text{[math]}$	1	2	3	4
$\text{[math]}$	0.6	0.8	1.1	1.5

已知一组样本数据 $\text{[math]}$ ，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则在样本点 $\text{[math]}$ 处的残差为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 2.45

C、 3.45

D、 54.55

设某中学的女生体重 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与身高 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\text{[math]}$ ，用最小二乘法建立的经验回归方程为 $\text{[math]}$ .若该中学女生的平均身高为 $\text{[math]}$ ，则该中学女生的平均体重的估计值是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

A、至少有一个样本点落在回归直线 $\text{[math]}$ 上

B、预报变量y的值由解释变量x唯一确定

C、相关指数R²越小，说明该模型的拟合效果越好

D、在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

用最小二乘法得到一组数据 $\text{[math]}$ 的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

为了研究某产品的年研发费用 $\text{[math]}$ (单位：万元) 对年利润 $\text{[math]}$ (单位：万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\text{[math]}$ . 已知 $\text{[math]}$ . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元，则预测年利润为（）

x	2	4	5	6	8
y	20	40	60	70	80

多项选择题

已知变量 $\text{[math]}$ 和变量 $\text{[math]}$ 的一组成对样本数据 $\text{[math]}$ 的散点落在一条直线附近， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，相关系数为 $\text{[math]}$ ，线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则（）

参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

下列说法正确的有（）

设 $\text{[math]}$ 是变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

已知变量 $\text{[math]}$ 和变量 $\text{[math]}$ 的一组成对样本数据 $\text{[math]}$ 的散点落在一条直线附近， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，相关系数 $\text{[math]}$ ，线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则( )

填空题

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的一组数据：若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足经验回归方程 $\text{[math]}$ ，则此曲线必过点.

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
y	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

已知变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的关系可以用模型 $\text{[math]}$ 来拟合．设 $\text{[math]}$ ，若根据样本数据计算可得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为千万元．
$\text{[math]}$

年号 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5
年生产利润 $\text{[math]}$ （单位：千万元）	0.7	0.8	1	1.1	1.4

解答题

某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量 $\text{[math]}$ （单位：亿元）对年销售额 $\text{[math]}$ （单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量 $\text{[math]}$ 和年销售额 $\text{[math]}$ ，该团队建立了两个函数模型：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 均为常数， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令 $\text{[math]}$ ，计算得到如下数据.

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
20	66	770	200	14
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
460	4.20	3125000	0.308	21500

根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.

将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 表示全国GDP总量，表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
3	26.474	1.903	10	209.76	14.05

（1）根据数据及统计图表，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程.

（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.

线性回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考数据：

$\text{[math]}$	4	5	6	7	8
$\text{[math]}$ 的近似值	55	148	403	1097	2981

2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.

某科技公司研发了一项新产品 $\text{[math]}$ ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价 $\text{[math]}$ （千元）和销售量 $\text{[math]}$ （千件）之间的一组数据如下表所示：

月份 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5	6
销售单价 $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
销售量 $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）试根据1至5月份的数据，建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 $\text{[math]}$ 千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

2025高考一轮复习（人教A版）第五十二讲 一元线性回归模型及其应用

2025高考一轮复习（人教A版）第五十二讲一元线性回归模型及其应用