综合与实践—广东省（北师版）九（上）数学期末复习

综合与实践

课题：小空间检测视力问题

具体情境：对某班学生视力进行检测的任务.

现有条件： 一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房.

 

为弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信，展现对家乡、对祖国的热爱之情，某校组织了有关佛山非物质文化进产知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告.请根据报告中提供的信息，解答下列问题：

课题	佛山剪纸知识竞答成绩调查报告
问题 展示	佛山剪纸，在制作上主要有哪些方式? 佛山剪纸的制作材料有哪些?……
数据 的整 理与 描述	成绩/分	频数/人	频率		成绩/分	频数/ 人	频率
	第1组.90≤x≤100	12	0.2		第4组.60≤x<70	m	0.117
	第2组.70≤x<90	20	0.333		第5组.x<60	6	0.1
	第3组.70≤x<80	15	0.25
调查 意义	了解佛山剪纸的知识，不仅能为同学们的美术色彩，工艺学习奠定基础，同时还能激发同学们对家乡的热爱.
调查 结果

 综合与实践

主题：X型晒衣架稳固性检测

步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆 ， ， 现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得.

图甲                                                 图乙

证明与计算：

 如图①，矩形的边 ， 将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形 ， 与交于点. 

图①                                                                         图②

综合与实践

【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研．

    

         图1           图2       图3               图4

【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时， ．

【计算与分析】

生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：

（只）．

某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：

年龄	A	B	C	D	……
个体数量	92	187	x	y	……

注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．

   

【综合与探究】问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证 ． 小慧的证明思路是：如图2，过点作 ， 交的延长线于点 ， 构造相似三角形来证明 ．

 在一堂数学课上， 张老师要求同学们在一张长 12 cm 、宽 5 cm 的矩形纸片内折出一个菱形， 甲同学很快想了一个办法， 他将较短的一条边与较长一边重合，展开后得到四边形  (见图 1)； 乙同学按照取两组对边中点的方法折出四边形  (见图 2)； 丙同学也不甘示弱， 他沿矩形的对角线  折出  ， 得到四边形  (见图 3). 请解答下列问题：

【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．

【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：

首先将方程变形为 ， 然后画四个长为 ， 宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为 ， 还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 ， 因此，可得新方程： ， 表示边长， ， 即 ， 遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程 ， 请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为 ， 即（      ▲ ）=4；

第二步：利用四个面积可用表示为      ▲ 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；

第三步：

【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数      ▲ ，       ▲ ， 求得方程的一个正根为      ▲ ．

某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形 EFGH 为矩形，请你帮助他 们解决下列问题： 

【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第 122 页第 21 题：“怎样把一块三角形的 木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考。

综合应用

【问题情境】

在正方形纸片ABCD中 ，AB=6，点P是边AD 上的一个动点，过点P作PQ∥AB 交 BC于点Q，将正方形纸片ABCD折叠，使点C的对应点C落在线段PQ上，点B的对应点为B'，折痕所在的直线交边AB于点E、交边 CD于点F，EF与PQ交于点N.

【猜想证明】

 综合运用

在矩形中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点是射线上一动点，连接 ， 过点作于点 ， 交直线于点. 

图①                                        图②                                                           图③

问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形， ， ， 交于点G ， 探究与β的数量关系．

问题探究：

综合与实践

某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：

【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考.

 探索一个问题： "任意给定一个矩形  ，  是否存在另一个矩形  ，  它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? "

【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离.

例如，如图1， ， 线段AB的长度称为点，与直线之间的距离，当时，线段AB的长度也是与之间的距离.

【应用】

矩形中， ， 点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．