新定义型—浙教版数学九（上）期末复习

已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和 ， 若存在实数 ， 使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（ ）

定义平面内任意两点P(x₁ ， y₁)、Q(x₂ ， y₂)之间的距离d_PQ=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距d_PQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x²+2x上一点，则曼距d_AB的最小值（ ）

在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点 ， ， ， …都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为 ， 最大值为 ， 则的取值范围是（     ）

在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax²－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是．

定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．

【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．

【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ， 当时，的最大值为 ， 所以函数的“最优纵横值”为7．

【问题】根据定义，解答下列问题：

【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．

【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ， 当时，的最大值为 ， 所以函数的“最优纵横值”为7．

【问题】根据定义，解答下列问题：

若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” ， 其“明德点”为.

对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．

如：一次函数y＝x－1，关联函数为 ， 这个关联函数的转折点是(1，0)．

定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．

如图1， ， 是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足 ， 则称是的“相望角”，如图，

定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

 

 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．

定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．

黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E ， 以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F ， 这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG ， 称其为黄金矩形．若CF＝4a ， 则AB＝（　　）

综合与实践

【问题提出】

勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分 ， 若 ， 则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

【问题提出】如图1， 中，线段 的端点 分别在边 和 上，若位于 上方的两条线段 和 之积等于 下方的两条线段 和 之积，即 ，则称 是 的“友好分割”线段.

定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.