上海市静安区2024-2025学年高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题

日期: 2025-04-09 高考模拟来源：出卷网

填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.

设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位， $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

设 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ，则该数列的前8项的和 $\text{[math]}$ 的值为.

到点 $\text{[math]}$ 距离之和为10的动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为.

在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

已知物体的位移 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）满足函数关系 $\text{[math]}$ ，则该物体在 $\text{[math]}$ 时刻的瞬时速度为 $\text{[math]}$ .

若用 $\text{[math]}$ 替换命题“对于任意实数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，且等号当且仅当 $\text{[math]}$ 时成立”中的 $\text{[math]}$ ，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 $\text{[math]}$ .

以双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则 $\text{[math]}$ 的值为.

如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在 $\text{[math]}$ 层，小宁家位于小明家正上方的 $\text{[math]}$ 层，已知 $\text{[math]}$ .小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为 $\text{[math]}$ ，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为 $\text{[math]}$ ，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 $\text{[math]}$ .

记 $\text{[math]}$ .若函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则该函数图象与 $\text{[math]}$ 轴交点的纵坐标的最大值为.

已知 $\text{[math]}$ 是从大到小连续的正整数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题､14题各4分，第15题､16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.

设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ”的（）

A、充分非必要条件

B、必要非充分条件

C、充要条件

D、既非充分又非必要条件

污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉 $\text{[math]}$ 的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的 $\text{[math]}$ ，大约需要的时间为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A、 $\text{[math]}$ 小时

B、 $\text{[math]}$ 小时

C、 $\text{[math]}$ 小时

D、 $\text{[math]}$ 小时

我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的 $\text{[math]}$ .现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 移动到点 $\text{[math]}$ ，使得空间四面体 $\text{[math]}$ 恰好是一个“鳖臑”，则二面角 $\text{[math]}$ 的大小为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则该四棱锥的高为（）

A、 4

B、 3

C、 2

D、 1

解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

设函数 $\text{[math]}$ .

已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

如图所示，正三棱锥 $\text{[math]}$ 的侧面是边长为2的正三角形.

如图的封闭图形的边缘由抛物线 $\text{[math]}$ 和垂直于拋物线对称轴的线段 $\text{[math]}$ 组成.已知 $\text{[math]}$ ，拋物线的顶点到线段 $\text{[math]}$ 所在直线的距离为 $\text{[math]}$ .

如果函数 $\text{[math]}$ 满足以下两个条件，我们就称函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 型函数.

①对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ；

②对于任意的 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

求证：

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