广西壮族自治区桂林市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

若一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为（     ）

已知线段 ， 其中 ， ， ， 则等于（     ）

下列各点在反比例函数的图象上的是（     ）

一元二次方程根的情况为（     ）

一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树苗的价格都一样）.采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：请你帮采购小组出谋划策，应选购（       ）

	树苗平均高度（单位：m）	方差
甲苗圃	1.8	0.2
乙苗圃	1.8	0.6
丙苗圃	2.0	0.6
丁苗圃	2.0	0.2

用配方法解一元二次方程 ， 则配方后所得的方程正确的是（     ）

如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知 ， ， ， 则的长为（     ）

如图，某山坡的坡面米，坡角 ， 则该山坡的高度是（     ）

如图，和是直立在地面上的两根立柱，的长为6米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为8米，则的长为（       ）

若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（     ）

今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱，洗衣机，电视，空调等8类家电商品．桂林出台最高补贴标准为按每件销售价格的给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过2000元）．李老师今年购买某品牌的全自动洗衣机一台，享受最高补贴后实际支付了2961元．已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设每次降低的百分率为 ， 则根据题意，下列方程正确的是（     ）

我们学过“黄金分割”，知道“黄金分割”应用广泛，与之对应，还有一种分割叫“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后分割成两个全等并与纸相似的纸（图②），这就是一个“白银分割”的例子．图中纸长边与短边的比值为（     ）

若 ， 则．

已知为锐角，若 ， 则 ．

已知关于的一元二次方程的一个根为 ， 则另一个根为．

青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出只青蛙，其中有标记的青蛙有只，估计这个池塘里大约有只青蛙．

如图，已知点在反比例函数的图象上，轴交轴于点 ， 点在轴上，若的面积为3，则的值为．

如图，在中， ， ， 点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为 ， 当时，与相似．

计算： ．

解方程

如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且 ．

如图，在边长为1的小正形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到 ， 其中在图中格点上，点的对应点分别为、 ．

学校组织七、八年级学生参加了体能测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成缋（单位：分）进行统计：

七年级   90，94，79，84，71，76，90，83，86，87

八年级   75，76，90，87，78，93，88，87，87，79

整理如表，根据以上信息，回答下列问题：

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	84	85		44.4
八年级	84		87	36.6

【学科综合】我们知道：光线从空气中射入水中，会发生折射现象（如图1），我们把称为光线从空气射入水中的折射率（其中代表入射角，代表折射角）．

【观察实验】为了观察光线从空气射入水中的折射现象，设计了图2所示的实验，用激光笔发射激光，图3是实验的示意图，矩形为水槽的截面图，水槽未注水时，点发出的一束激光正好在水槽底端处形成光斑；保持激光入射角度不变，注满水后，光斑移动到点，点 ， ， 在同一直线上，测得 ， ．

综合与实践

【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．

例：求代数式的最小值．

解：原式 ．

，

，

的最小值为3．

【方法应用】

（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．

【问题迁移】

（2）若 ， 求 ， ．

【拓展应用】

（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中 ， ， 是和的三边长．根据勾股定理，可得 ， 我们把关于的一元二次方程 ， 称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且 ， 试求四边形的周长．

如图1，在中， ， ， 点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ， ， 连接 ． 将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为 ．