广东省广州市第六十五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

日期: 2025-04-08 期中考试来源：出卷网

单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

已知复数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为虚数单位)，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在( )

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

已知 $\text{[math]}$ 为不共线向量， $\text{[math]}$ ，则（）

A、 $\text{[math]}$ 三点共线

B、 $\text{[math]}$ 三点共线

C、 $\text{[math]}$ 三点共线

D、 $\text{[math]}$ 三点共线

如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA^'B^'C^'中， $\text{[math]}$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 2

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

以下四个结论：

①若a⊂α，b⊂β，则a，b为异面直线；

②若a⊂α，b⊄α，则a，b为异面直线；

③没有公共点的两条直线是平行直线；

④两条不平行的直线就一定相交．

其中正确答案的个数是（　　）

A、 0个

B、 1个

C、 2个

D、 3个

若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是角 $\text{[math]}$ 的对边，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状为（）

A、直角三角形

B、钝角三角形

C、直角或钝角三角形

D、锐角三角形

一艘游轮航行到 $\text{[math]}$ 处时看灯塔 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的北偏东 $\text{[math]}$ ，距离为 $\text{[math]}$ 海里，灯塔 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的北偏西 $\text{[math]}$ ，距离为 $\text{[math]}$ 海里，该游轮由 $\text{[math]}$ 沿正北方向继续航行到 $\text{[math]}$ 处时再看灯塔 $\text{[math]}$ 在其南偏东 $\text{[math]}$ 方向，则此时灯塔 $\text{[math]}$ 位于游轮的（　　）

A、正西方向

B、南偏西 $\text{[math]}$ 方向

C、南偏西 $\text{[math]}$ 方向

D、南偏西 $\text{[math]}$ 方向

已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

下列命题中正确的是（）

在三角形 $\text{[math]}$ 所在平面内，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

已知以 $\text{[math]}$ 为起点的向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则 $\text{[math]}$ .

在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平面截该正方体所得截面记为 $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为等腰梯形.

②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为四边形.

④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）设平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

已知向量 $\text{[math]}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\text{[math]}$ ．

已知函数 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ .

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 即为费马点；当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

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