难点十二 推理与新定义问题

欧拉公式e^ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e²ⁱ表示的复数在复平面中位于（  ）

若数列{a_n}满足 =0，n∈N^* ， p为非零常数，则称数列{a_n}为“梦想数列”．已知正项数列 为“梦想数列”，且b₁b₂b₃…b₉₉=2⁹⁹ ， 则b₈+b₉₂的最小值是（   ）

三角形的面积为a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）

对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：

（Ⅰ）∀a，b∈A，都有a⊕b∈A

（Ⅱ）∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；

（Ⅲ）∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；

（Ⅳ）∀a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），

则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：

①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；

②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；

③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．

其中可以构成“对称集”的有（　　）

记录k（k≤n）个点的颜色，称为该圆的一个“k阶段序”，当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（   ）

中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是 ，则9117用算筹可表示为（   ）

若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：

①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；

②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），

已知函数f（x）= ， 则此函数的“友好点对”有（　　） 

定义区间[x₁ ， x₂]长度为x₂﹣x₁ ， （x₂＞x₁），已知函数f（x）= （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（　　）

设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[ ， ]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（   ）

已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2^x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（   ）

设函数f（x），g（x）的定义域分别为F、G，且F⊆G．若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知函数f（x）=2^x（x≤0），若g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（   ）

符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x₀ ， 使f（x₀）＞d．下列四个函数中 ， ， ， 中“S函数”的个数为（　　）

设S为复数集C的非空子集．如果

（1）S含有一个不等于0的数；

（2）∀a，b∈S，a+b，a﹣b，ab∈S；

（3）∀a，b∈S，且b≠0，∈S，那么就称S是一个数域．

现有如下命题：

①如果S是一个数域，则0，1∈S；

②如果S是一个数域，那么S含有无限多个数；

③复数集是数域；

④S={a+b|a，b∈Q，}是数域；

⑤S={a+bi|a，b∈Z}是数域．

其中是真命题的有 （写出所有真命题的序号）．

设函数f（x）= （x＞0），观察：

f₁（x）=f（x）= ，

f₂（x）=f（f₁（x））= ；

f₃（x）=f（f₂（x））= ．

f₄（x）=f（f₃（x））=

…

根据以上事实，当n∈N^*时，由归纳推理可得：f_n（1）=．

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m，使得对于任意x∈M（M⊆D），有（x﹣m）∈D且f（x﹣m）≤f（x），则称f（x）为M上的m度低调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a²|﹣a² ， 且f（x）为R上的5度低调函数，那么实数a的取值范围为．

在直角坐标系 中，已知任意角 以坐标原点 为顶点，以 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点 ，且 ，定义: ，称“ ”为“ 的正余弦函数”，若 ，则 ．

若数列{a_n}满足a₂﹣a₁＞a₃﹣a₂＞a₄﹣a₃＞…＞a_n+1﹣a_n＞…，则称数列{a_n}为“差递减”数列，若数列{a_n}是“差递减”数列，且其通项a_n与其前n项和S_n（n∈N^*）满足2S_n=3a_n+2λ﹣1（n∈N^*），则实数λ的取值范围是

已知首项为 的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， n∈N^* ， 且﹣2S₂ ， S₃ ， 4S₄成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）对于数列 ，若存在一个区间M，均有A_i∈M，（i=1，2，3…），则称M为数列 的“容值区间”，设 ，试求数列{b_n}的“容值区间”长度的最小值．

记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max ．已知函数f（x）=max{x²﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax²+x}．

若存在常数k（k∈N^* ， k≥2）、q、d，使得无穷数列{a_n}满足 则称数列{a_n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b_n}为“段比差数列”．