已知函数f（x）=px﹣ ﹣2lnx．

（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；

（Ⅲ）设函数g（x）= （e为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点x₀ ， 使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．