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实际问题:

各边长都是整数,最大边长为31的三角形有多少个?

问题建模:为解决上面的数学问题,我们先研究下面的数学模型。

在1~n这n个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于n,有多少种不同的取法?

为了找到解决问题的方法,我们把上面数学模型简单化.

探究一:

在1~4这4个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于4,有多少种不同的取法?

第一步:在1~4这4个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于4,根据题意,有下列取法:1+4,2+3,2+4,3+2,3+4,4+1,4+2,4+3;而1+4与4+1,2+3与3+2,…是同一种取法,所有上述每一种取法都重复过一次,因此共有种不同的取法.

第二步:在1~4这4个自然数中,每次取两个相同的数,使得所取的两个数之和大于4,有下列取法:3+3,4+4,因此有2种不同的取法.

综上所述,在1~4这4个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于4,有种不同的取法.

探究二:

在1~5这5个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于5,有多少种不同的取法?

第一步:在1~5这5个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于5,根据题意,有下列取法:1+5,2+4,2+5,3+4,3+5,4+2,4+3,4+5,5+1,5+2,5+3,5+4;而1+5与5+1,2+4与4+2,…是同一种取法,所有上述每一种取法都重复过一次,因此共有种不同的取法.

第二步:在1~5这5个自然数中,每次取两个相同的数,使得所取的两个数之和大于5,有下列取法:3+3,4+4,5+5因此有3种不同的取法.

综上所述,在1~5这5个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于5,有种不同的取法.

探究三:

在1~6这6个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于6,有多少种不同的取法?(仿照探究二写出探究过程)

探究四:

在1~7这7个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于7,有      ▲ 种不同的取法.

探究五:

在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于n,有      ▲ 种不同的取法.

探究六:

在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个数(可重复),使得所取的两个数之和大于n,有      ▲ 种不同的取法.

问题解决:

①各边长都是整数,最大边长为20的三角形有      ▲ 个;

②各边长都是整数,最大边长为31的三角形有      ▲ 个.

知识点
参考答案
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