组卷题库 > 初中数学试卷库
试题详情
定义:

如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差,那么称正整数n为“智慧数”,即:若正整数n=a2-b2(a,b为正整数,且a>b),则称正整数n为“智慧数”.例如:∵5=32-22 , ∴5是“智慧数”.根据定义,直接写出最小的“智慧数”是

提出问题:

如果按照从小到大的顺序排列起来,那么第2022个“智慧数”是哪位数?

探究问题:

要解答这个问题,我们先要明白“智慧数”产生的规律.

探究1:“智慧数”一定是什么数?

假设n是“智慧数”,则至少存在一组正整数a、b,使n=a2-b2(a,b为正整数,且a>b).

情况1:a、b均为奇数,或均为偶数.

分析:

∵a、b均为奇数,或均为偶数

∴(a+b)、(a-b)均为偶数

此时不妨设(a+b)=2c,(a-b)=2d

又∵n=a2-b2=(a+b)(a-b)=4cd

∴a2-b2为4的倍数,即n为4的倍数.

情况2:a、b为一奇数、一偶数.

分析:

∵a、b为一奇数、一偶数

∴(a+b)、(a-b)均为奇数

此时不妨设(a+b)=2c1,(a-b)=2d1

又∵n=a2-b2=(a+b)(a-b)=4cd2c2d1

∴a2-b2为奇数,即n为奇数.

综上所述:“智慧数”为奇数或4的倍数.

探究2:所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗?

我们先从最简单的情形入手,从中找到解决问题的方法,最后得出一般性的结论.

先举例几组数值较小,容易验证的“智慧数”(①--⑧),因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数,所以我们把这“智慧数”分成两类.

情况1:n是奇数

 

分析n=a2-b2

结论

3是“智慧数”

5是“智慧数”

7是“智慧数”

9是“智慧数”

……

……

……

情况2:n是4的倍数

 

分析n=a2-b2

结论

8是“智慧数”

12是“智慧数”

16是“智慧数”

20是“智慧数”

……

……

……

情况1:n是奇数

观察①②③④中n、a、b的值,容易发现,每个算式中,n均是奇数,且a、b的值均为连续的正整数.

猜想:所有奇数都是“智慧数”.

验证:设a=k+1,b=k(k≥1,且k为整数)

∵a2-b2=(k+1)2-k2=2k+1

∴2k+1是“智慧数”

又∵k≥1

∴2k+1≥3,即2k+1表示所有奇数(1除外)

∴所有奇数(1除外)都是“智慧数”

应用:

请直接填空:∵11= 2-2   ∴11是“智慧数”

情况2:n是4的倍数.

观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值,容易发现,每个算式中,n均是4的倍数,且a、b的差都为2.

猜想:所有4的倍数都是“智慧数”.

验证:设a=k+2,b=k(k≥1,且k为整数)

∵a2-b2=(k+2)2-k2=4k+4

∴4k+4是“智慧数”

又∵k≥1

∴4k+4≥8,即4k+4表示所有4的倍数(4除外)

∴所有4的倍数(4除外)都是“智慧数”

应用:

请直接填空:∵24= 2- 2  ∴24“智慧数”

归纳“智慧数”的发现模型:

⑴对所有的正整数而言,除了1和4之外,其余的奇数以及4的倍数是智慧数.

⑵当1≤n≤4时,只有1个“智慧数”;

当n≥5时,如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序,依次每个连续正整数分成一组(注:组与组之间的数字互不重复),则每组有个“智慧数”,且第个数不是“智慧数”.

问题解决:

直接写出:如果按照从小到大的顺序排列起来,那么第2022个“智慧数”是

实际应用:

若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米,已知一条直角边长是12cm,则这个直角三角形纸片的周长最大是cm.

知识点
参考答案
采纳过本试题的试卷
教育网站链接