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问题提出:

如图a所示的5×3网格(每一个小正方形的边长均为单位长度1)中,共有多少个长方形(包含正方形)?

问题探究:

为了解决上面的问题,我们先从最简单的情形入手,从中找到解决问题的方法,最后出一般性的结论,为了更好的探究规律,在本次探究过程中,我们约定所有长方形横向为长,竖向为宽.

探究一:

对于1×1同格(如图①),显然,只有1个长方形.

对于1×2同格(如图②),所有长方形的宽均为1,长可能是1,也可能是2.按照从小到大的顺序,长为1的长方形有2个,长为2的长方形有1个,所以共有个长方形.

而2对于1×3网格(如图③),所有长方形的宽均为1,长可能是1,可能是2,可能是3,按照从小到大的顺序,长为1的长方形有3个,长为2的长方形有2个,长为3的长方形有个,所以,共个长方形.

探究二:

对于2×1网格(如图④),所有长方形的长均为1,宽可能是1,可能是2.宽为1时可以看成由2个1×1网格组成,长方形有2×1个;宽为2时,把中间的横线隐去,就可以看成由1个“图①”组成,所以长方形有1×1个,因此,共有个长方形.

对于2×2网格(如图⑤),长方形的宽可能是1,可能是2.宽为1时,可以看成由2个1×2回格组成,所以长方形有个;宽为2时,把中间的横线隐去,就可以看成中1个“图②”组成,所以长方形有个,因此,共在个长方形.

对于2×3网格(如图⑥),长方形的宽可能是1,可能是2.宽为1时,可以看成由2个1×3网格组成,长方形个;宽为2时,可把中间的横线隐去,就可以看成由1个“图③”网格组成,所以长方形有个,因此,共有)个长方形.

探究三:

对于3×1网格(如图⑦),长方形的长均为1,宽可能是1,可能是2,可能是3.宽为1时,可以看成由3个1×1网格组成,所以长方形3×1个;宽为2时,把中间的横线是隐去,就可以看成由2个“图①”网格组成,所以长方形2×1个;宽为3时,把中间的横线隐去,就可以看成由1个“图①”网格组成,所以长方形有1×1个.因此,共有个长方形.

对于3×2网格(如图⑧),长方形的宽可能是1,可能是2,可能是3.宽为1时,可以看成由3个1×2网格组成,所以长方形有个;宽为2时,把中间的横线隐去,就可以看成由2个“图②”同格组成,所以长方形有个;宽为3时,把中间的横线隐去,就可以看成由1个“图②”同格组成,所以长方形有个,因此,共有个长方形.

对于3×3网格(如图⑨),长方形的宽可能是1,可能是2,可能是3.宽为1时,可以看成由3个1×3网格组成,所以长方形有个;宽为2时,把中间的横线除去就可以看成由2个“图③”网格组成,所以长方形在个;宽为3时,把中间的横线隐去,就可以看成由1个“图③”网格组成,所以长方形有个,因此,共有个长方形.

知识点
参考答案
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