北京市海淀区2019-2020学年高三上学期数学期末试题

已知集合 ， ， ，则集合 是（ ）

抛物线 的焦点坐标为（   ）

下列直线与圆 相切的是（   ）

已知 、 ，且 ，则（    ）

在 的展开式中， 的系数为（   ）

已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的值为（    ）

已知 、 、 是三个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（   ）

已知等边 边长为 ，点 在 边上，且 ， .下列结论中错误的是（    ）

声音的等级 （单位： ）与声音强度 （单位： ）满足 . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 ；一般说话时，声音的等级约为 ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ）

若点 为点 在平面 上的正投影，则记 .如图，在棱长为 的正方体 中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 、 不重合） ， .给出下列三个结论：

①线段 长度的取值范围是 ；②存在点 使得 平面 ；③存在点 使得 .其中，所有正确结论的序号是（    ）

在等差数列 中,若 ,则 .

若复数 ，则 .

已知点 ，点 、 分别为双曲线 的左、右顶点.若 为正三角形，则该双曲线的离心率为.

已知函数 在区间 上存在最小值，则实数 的取值范围是.

用“五点法”作函数 的图象时，列表如下：

则 ， .

已知曲线 （ 为常数）.

（i）给出下列结论：

①曲线 为中心对称图形；

②曲线 为轴对称图形；

③当 时，若点 在曲线 上，则 或 .

其中，所有正确结论的序号是.

（ii）当 时，若曲线 所围成的区域的面积小于 ，则 的值可以是.（写出一个即可）

已知函数 .

（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；

（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.

如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均是等腰直角三角形， ， ， 、 分别为 、 的中点.

（Ⅰ）求证： 平面 ；

（Ⅱ）求证： ；

（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.

某市《城市总体规划（ 年）》提出到 年实现“ 分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 个方面构建“ 分钟社区生活圈”指标体系，并依据“ 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为 ）、良好小区（指数为 ）、中等小区（指数为 ）以及待改进小区（指数为 ） 个等级.下面是三个小区 个方面指标的调查数据：

注：每个小区“ 分钟社区生活圈”指数 ，其中 、 、 、 为该小区四个方面的权重， 、 、 、 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为 之间的一个数值）.

现有 个小区的“ 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：

分组
频数

（Ⅰ）分别判断 、 、 三个小区是否是优质小区，并说明理由；

（Ⅱ）对这 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取 个小区进行调查，若在抽取的 个小区中再随机地选取 个小区做深入调查，记这 个小区中为优质小区的个数为 ，求 的分布列及数学期望.

已知椭圆 的右顶点 ，且离心率为 ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

（Ⅱ）设 为原点，过点 的直线 与椭圆 交于两点 、 ，直线 和 分别与直线 交于点 、 ，求 与 面积之和的最小值.

已知函数 .

（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；

（Ⅱ）若函数 有极小值，求证： 的极小值小于 .

给定整数 ，数列 、 、 、 每项均为整数，在 中去掉一项 ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 . 将 、 、 、 中的最小值称为数列 的特征值.

（Ⅰ）已知数列 、 、 、 、 ，写出 、 、 的值及 的特征值；

（Ⅱ）若 ，当 ，其中 、 且 时，判断 与 的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列 的特征值为 ，求 的最小值.