人教新课标A版必修二 1.3空间几何体的表面积与体积

日期: 2025-04-14 同步测试来源：出卷网

单选题

一个正四棱锥的底面边长为2，高为 $\text{[math]}$ ，则该正四棱锥的全面积为（）

A、 8

B、 12

C、 16

D、 20

已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

如果两个球的体积之比为 $\text{[math]}$ ，那么两个球的半径之比为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

若棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知正方体外接球的体积是 $\text{[math]}$ π，那么正方体的棱长等于（）

A、 2 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 $\text{[math]}$ 的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 π

B、 2π

C、 6π

D、 12π

已知高为3的棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在四面体 $\text{[math]}$ 中，棱 $\text{[math]}$ ，其余各条棱长均为2，则四面体 $\text{[math]}$ 外接球的表面积是（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V=（　　　）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

已知棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，E为DC中点，F在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积最小值为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

在高为 $\text{[math]}$ 的正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，若一只蚂蚁从点 $\text{[math]}$ 沿表面爬向点 $\text{[math]}$ ，则蚂蚁爬行的最短距离为（）

A、 3

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 2

我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当“阳马”即四棱锥 $\text{[math]}$ 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A、 $\text{[math]}$

B、 $\text{[math]}$

C、 $\text{[math]}$

D、 $\text{[math]}$

填空题

已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 $\text{[math]}$ ，则该棱锥的体积为 $\text{[math]}$ .

已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为.

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，E为棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 为AB的中点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为.

解答题

已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，

底面边长为2的正三棱锥 $\text{[math]}$ ，其表面展开图是三角形 $\text{[math]}$ ，如图，求△ $\text{[math]}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $\text{[math]}$ .

如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥.求：

如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？

从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体 $\text{[math]}$ 的直观图中分离出来的．

（Ⅰ）求直观图中 $\text{[math]}$ 的面积；

（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

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