东北三省四市教研联合体2021届高三理数第二次联合考试试题

定义集合运算： ，设 ， ，则集合 的所有元素之和为（    ）

复数 （其中 为虚数单位），则 （    ）

割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（    ）

已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（    ）

已知下列四个命题，其中真命题的个数为（    ）

①空间三条互相平行的直线 ， ， ，都与直线 相交，则 ， ， 三条直线共面；②若直线 平面 ，直线 平面 ，则 ；③平面 平面 直线 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则 ；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线 上一点， 轴， ，则双曲线的渐近线方程为（    ）

如图所示，流程图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中所填入的关于 的条件是（    ）

已知 是定义域为 的奇函数， ，当 时， ，则 时， 的解析式为（    ）

若函数 的图象向右平移 个长度单位后关于点 对称，则 在 上的最小值为（    ）

已知直线 与圆 交于 、 两点， 为坐标原点， ，则实数 的值为（    ）

已知 、 是球 的球面上两点， ，过 作互相垂直的两个平面截球得到圆 和圆 ，若 ， ，则球的表面积为（    ）

已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（    ）

．

在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是.

在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ， ， ，则 的值为.

在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程 ； ，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：

甲：曲线 关于 对称；

乙：曲线 关于原点对称；

丙：曲线 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 ；

丁：曲线 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 ；

四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）.

已知公比大于1的等比数列 的前6项和为126，且 ， ， 成等差数列.

（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；

（Ⅱ）若数列 满足 ，且 ，证明：数列 的前 项和 .

新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：

100位男性居民评分频数分布表

分组	频数
	3
	12
	72
	8
	5
合计	100

100位女性居民评分频数分布表

分组	频数
	5
	15
	64
	7
	9
合计	100

（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值 和方差 ；

（Ⅱ）已知男性居民评分 服从正态分布 ， 用 表示， 用 表示，求 ；

（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关?

附： ， ， ， .

参考公式 ， .

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.204	6.635	7.879	10.828

已知等腰直角 ， ，点 ， 分别为边 ， 的中点，沿 将 折起，得到四棱锥 ，平面 平面 .

（Ⅰ）过点 的平面 平面 ，平面 与棱锥 的面相交，在图中画出交线；设平面 与棱 交于点 ，写出 的值（不必说出画法和求值理由）；

（Ⅱ）求证：平面 平面 .

已知点 ， ，直线 ， 的斜率乘积为 ， 点的轨迹为曲线 .

（Ⅰ）求曲线 的方程；

（Ⅱ）设斜率为 的直线交 轴于 ，交曲线 于 ， 两点，是否存在 使得 为定值，若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由.

已知函数 .

（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间

（Ⅱ）若 在 上有且仅有一个极小值点，求 的取值范围.

在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数），以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．

（Ⅰ）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线 交曲线 于 ， 两点，交曲线 于 ， 两点，求 的长．

已知

（Ⅰ）解不等式 ；

（Ⅱ）设 的最大值为 ，如果正实数 ， 满足 ，求 的最小值.